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1、定义：对于 $f (x)$ 定义域内的任意一个自变量的值 $x_{1}$ ，都存在唯一一个 $x_{2}$ 使得 $\sqrt{f (x_{1}) f (x_{2})} = 1$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是（）

A、 $f (x) = \ln x$ B、 $f (x) = e^{x}$ C、 $f (x) = e^{\sin x}$ D、 $f (x) = \cos x$

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2、若 $\vec{a} = (2, - 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 3$ C、3 D、5

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3、若集合 $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{y| y = \sqrt{x}, x \in R\}$ ，则 $α \in A$ 是 $α \in B$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，短轴端点和长轴端点间的距离为 $\sqrt{7}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过左焦点的直线交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 在 $C$ 上.
（i）若 $△ P A B$ 的重心 $G$ 为坐标原点，求直线 $A B$ 的方程；
（ii）若 $△ P A B$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，求 $G$ 的横坐标的取值范围.

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5、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $P B = 2 \sqrt{6}$ ， $P C = 6$ ， $∠ B A D = 60 °$ .

(1)、证明： $P A = P D$ ；

(2)、若二面角 $P - A D - B$ 的余弦值为 $- \frac{1}{3}$ ，求直线 $B C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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6、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上的值域；

(2)、若存在 $x_{0} > 1$ ，当 $x \in (0, x_{0})$ 时， $f (x) < 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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7、记 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} b \sin A = a (\cos B + 1)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、设 $C D$ 是 $△ A B C$ 的中线，若 $C D = 2 \sqrt{3}$ ， $a = 2$ ，求 $b$ .

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 等可能取 $- 1$ ， 0或1，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 0$ ，且 $b_{n + 1} = b_{n} + a_{n}$ ，则 $b_{5} = 0$ 的概率为．

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9、若曲线 $y = e \ln x$ 在点 $(e, e)$ 处的切线与圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ 相切，则 $a =$ .

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10、在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ P B$ ， $P A = 1$ ， $Q$ 是底面 $△ A B C$ 内（含边界）一点，则下列说法正确的是（）

A、点 $Q$ 到该三棱锥三个侧面的距离之和为定值 B、顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 到直线 $P Q$ 的距离的平方和为定值 C、直线 $P Q$ 与该三棱锥三个侧面所成角的正弦值的和有最大值 $\sqrt{3}$ D、直线 $P Q$ 与该三棱锥四个面所成角的正弦值的平方和有最大值 $\frac{3}{2}$

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11、下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（）

A、 $y = \sin x$ 与 $y = - \sin x$ B、 $y = x^{3}$ 与 $y = x^{3} - x$ C、 $y = 2^{x}$ 与 $y = 3 \cdot 2^{x}$ D、 $y = \lg x$ 与 $\lg (3 x)$

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12、随着农业现代化的持续推进，中国农业连年丰收，农民收入持续增加，农村活力不断增强，乡村全面振兴的美好蓝图变成现实.某地农科院为研究新品种大豆，在面积相等的 $100$ 块试验田上种植一种新品种大豆，得到各块试验田的亩产量（单位： $kg$ ），并整理得下表：
亩产量
$[150, 160)$
$[160, 170)$
$[170, 180)$
$[180, 190)$
$[190, 200)$
$[200, 210]$
频数
$5$
$10$
$25$
$40$
$15$
$5$
则 $100$ 块试验田的亩产量数据中（）

A、中位数低于 $180 kg$ B、极差不高于 $60 kg$ C、不低于 $190 kg$ 的比例超过 $15 \frac{0}{0}$ D、第 $75$ 百分位数介于 $190 kg$ 至 $200kg$ 之间

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13、摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了 $k$ 号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则 $k$ 的最小值是（）

A、16 B、17 C、18 D、19

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14、已知直线 $l$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，且 $O A ⊥ O B$ ，过点 $O$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $E (2, 1)$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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15、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量是（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(2, 0)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(1, 0)$

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16、若 $\frac{1}{z - 1} = 1 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$

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17、已知集合 $A = {x |x^{2} - x - 6 < 0}$ ， $B = {- 2, 0, 1, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1}$ B、 ${- 2, 0, 1}$ C、 ${0, 1, 3}$ D、 ${- 2, 0, 1, 3}$

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18、若一个集合含有 $n$ 个元素（ $n \geq 2$ ， $n \in N$ ），且这 $n$ 个元素之和等于这 $n$ 个元素之积，则称该集合为 $n$ 元“完美集”.

(1)、写出一个2元“完美集”（无需写出求解过程）；

(2)、求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积大于4；

(3)、记 $|A|$ 为集合 $A$ 中元素的个数.若集合 $A$ 是元素均为正整数的“完美集”，求 $|A|$ 的最大值.

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19、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x - 1} + a}$ 的图象过点 $(2, \frac{4}{3}) .$

(1)、求 $a$ 的值，判断函数 $f (x)$ 的单调性，并根据定义证明；

(2)、证明： $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 对称；

(3)、任取 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 2$ ，恒有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) - m^{2} + m > 0$ 成立，求实数m的取值范围.

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20、某地区上年度电价为0.8元/（ $kW \cdot h$ ），年用电量为 $a kW \cdot h$ ，本年度计划将电价下降到0.55元/（ $kW \cdot h$ ）至0.7元/（ $kW \cdot h$ ）之间，而用户期望电价为0.4元/（ $kW \cdot h$ ）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为 $k$ ）.该地区的电力成本价为0.3元/（ $kW \cdot h$ ）.

(1)、写出本年度电价下调后电力部门的收益 $y$ （单价：元）关于实际电价 $x$ （单位：元/（ $kW \cdot h$ ））的函数解析式；（收益=实际电量 $\times$ （实际电价-成本价））

(2)、设 $k = 0.2 a$ ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 $20 %$ ？

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亩产量	$[150, 160)$	$[160, 170)$	$[170, 180)$	$[180, 190)$	$[190, 200)$	$[200, 210]$
频数	$5$	$10$	$25$	$40$	$15$	$5$