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相关试卷

1、对于给定的 $n$ 项整数数列 $A_{n}$ ： $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}$ （ $n \geq 3$ ），定义变换 $H (i)$ ：①若 $i = 1$ ，则 $a_{1}$ 加 $2$ ， $a_{n}, a_{2}$ 均加 $1$ ，其余项不变；②若 $1 < i < n$ ，则 $a_{i}$ 加 $2$ ， $a_{i - 1}, a_{i + 1}$ 均加 $1$ ，其余项不变；③若 $i = n$ ，则 $a_{n}$ 加 $2$ ， $a_{n - 1}, a_{1}$ 均加 $1$ ，其余项不变．例如，对数列： $- 1, 0, 1$ 做变换 $H (1)$ 得到 $1, 1, 2$ ，即 $- 1, 0, 1 \overset{变换 H (1)}{\to} 1, 1, 2$ ；而对数列： $2, 5, 7, 3$ 先后做变换 $H (3)$ ， $H (4)$ 可得到 $3, 6, 10, 6$ ，即 $2, 5, 7, 3 \overset{变换 H (3)}{\to} 2, 6, 9, 4 \overset{变换 H (4)}{\to} 3, 6, 10, 6$ ．

(1)、找出一系列变换，使得数列： $1, 2, 3$ 经过这系列变换后成为常数列；

(2)、是否能找出一系列变换，使得数列： $- 1, - 1, 0, 2, 2$ 经过这系列变换后成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由；并请判断当 $n$ 为奇数时，对于任意数列 $A_{n}$ ，是否总存在一系列变换能使该数列成为常数列（无须证明）．

(3)、当 $n$ 为偶数且数列 $A_{n}$ 是递增数列时，是否存在一系列变换，使得该数列成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由．

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2、已知函数 $f (x) = e^{x + a}$ （ $a \in R$ ）， $O$ 为坐标原点．

(1)、当 $a = 1$ 时，
（i）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1, f (- 1))$ 处的切线方程；
（ii）若点 $P$ 是函数 $f (x)$ 图象上一点，求 $|O P|$ 的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 图象上存在不同两点 $A, B$ 满足 $|O A| = |O B| = \sqrt{1 + |a|}$ ，求 $a$ 的取值范围．

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3、已知双曲线 $E :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0, b > 0$ ）的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = 2 \sqrt{2}$ ，圆 ${(x - \sqrt{2})}^{2} + y^{2} = 1$ 与 $E$ 的渐近线相切．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、若 $E$ 上两点 $A, B$ 满足 $\vec{F_{2} B} = λ \vec{F_{1} A}$ （ $λ > 1$ ），且四边形 $A F_{1} F_{2} B$ 的面积为 $\frac{4}{3} \sqrt{7}$ ，求 $λ$ 的值．

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4、某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在 $A, B$ 两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在 $A, B$ 两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在 $A$ 点投中得 $2$ 分，在 $B$ 点投中得 $3$ 分，未投中均得 $0$ 分，各次投中与否相互独立．

(1)、在参赛的同学中，随机调查50名的得分情况，得到如下 $2 \times 2$ 列联表：
得分 $\geq 3$ 分
得分 $< 3$ 分
合计
先在 $A$ 点投篮
20
5
25
先在 $B$ 点投篮
10
15
25
合计
30
20
50
是否有 $99 %$ 的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关？

(2)、小明在 $A$ 点投中的概率为 $0.7$ ，在 $B$ 点投中的概率为 $0.3$ ．
（i）求小明第一次投中的概率；
（ii）记小明投篮总得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.1
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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5、如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B D ⊥ D C$ ．将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使 $A B ⊥ A C$ ，连接 $A C$ ，得到三棱锥 $A - B C D$ ．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、点 $E$ 是 $B C$ 的中点，连接 $A E$ 、 $D E$ ，若 $A B = A D = \sqrt{2}$ ，
（i）求二面角 $B - A D - E$ 的正切值；
（ii）求三棱锥 $A - B C D$ 的外接球体积．

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6、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = 1 + \sqrt{2 f (x) - {(f (x))}^{2}}$ ，则 $f (2025) + 2 f (0)$ 的最大值是．

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7、已知斜率大于零的直线 $l$ 交椭圆 $Γ :$ $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 于 $A, B$ 两点，交 $x, y$ 轴分别于 $C, D$ 两点，且 $C, D$ 是线段 $A B$ 的三等分点，则直线 $l$ 的斜率为．

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8、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{10} = 20$ ，则 $S_{10} =$ ．

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9、如图，多面体 $P A B C Q$ 由正四面体 $P - A B C$ 和正四面体 $Q - A B C$ 拼接而成，一只蚂蚁从顶点 $P$ 出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记 $n$ 次爬行后，该蚂蚁落在点 $P$ 的概率为 $p_{n}$ ，落在点 $Q$ 的概率为 $q_{n}$ ，则（）

A、 $p_{2} = \frac{1}{4}$ B、 $p_{3} > q_{4}$ C、 $p_{n} = q_{n}$ D、 $p_{2 n + 1} < \frac{1}{6}$

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10、若函数 $f (x)$ 与函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称，则函数 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = 3 x + 2$ B、 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ C、 $f (x) = e^{x} - 2 x$ D、 $f (x) = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) - x$

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11、已知函数 $f (x) = \sin x + \cos x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值是 $\sqrt{2}$ B、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、 $f (\frac{π}{2} - x) = f (x)$ D、 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上有两个零点

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12、过抛物线 $C :$ $y^{2} = 4 x$ 焦点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A, B$ 两点，过点 $A$ 作 $C$ 的切线 $l$ ，交 $x$ 轴于点 $M$ ，过点 $B$ 作直线 $l$ 的平行线交 $x$ 轴于点 $N$ ，则 $|F M| + 4 |F N|$ 的最小值是（）

A、 $12$ B、 $10$ C、 $9$ D、 $8$

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $A, B, C$ 成等差数列， $a, c, \frac{4}{\sqrt{3}} b$ 成等比数列，则 $\cos A =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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14、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M, N$ 分别为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 及 $A B B_{1} A_{1}$ 的中心，则异面直线 $B D$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $0$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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15、“ $\sin 2 α < 0$ ”是“ $\tan \frac{α}{2} > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要

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16、若 ${(1 - x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} x^{7}$ ，则 $a_{2} + a_{4} + a_{6} =$ （）

A、 $31$ B、 $32$ C、 $63$ D、 $64$

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 0)$

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18、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = a^{2} - 4 + (a - 2) i$ （ $a \in R$ ）是纯虚数，则 $a =$ （）

A、 $2$ 或 $- 2$ B、 $2$ C、 $0$ D、 $- 2$

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19、已知集合 $A = \{x |x^{2} - x - 2 \leq 0\}$ ， $B = \{x |y = \ln x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $(0, 2)$ C、 $[- 1, 2]$ D、 $(0, 1]$

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20、乒乓球比赛一般有两种赛制：“5局3胜制”和“7局4胜制”．“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利.

(1)、甲、乙两人进行乒乓球比赛，经统计在某个赛季的所有比赛中，在不同赛制下甲、乙两人的胜负情况如下表．请先将下面的列联表补充完整，然后根据小概率值 $α = 0.100$ 的独立性检验，分析不同赛制是否对甲获胜的场数有影响.
甲获胜场数
乙获胜场数
5局3胜
8
10
7局4胜
1
合计
20

(2)、若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为 $p$ ，没有平局．记事件 $A$ 为“甲只要取得3局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜”，事件 $B$ 为“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”，试证明： $P (A) = P (B)$ ．

(3)、甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是 $p (p > 0.5)$ ，没有平局．若采用“赛满 $(2 n - 1)$ 局，胜方至少取得 $n$ 局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为 $P (n)$ .若采用“赛满 $(2 n + 1)$ 局，胜方至少取得 $(n + 1)$ 局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为 $P (n + 1)$ ，试比较 $P (n)$ 与 $P (n + 1)$ 的大小．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.100
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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	得分 $\geq 3$ 分	得分 $< 3$ 分	合计
先在 $A$ 点投篮	20	5	25
先在 $B$ 点投篮	10	15	25
合计	30	20	50

$α$	0.1	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828

	甲获胜场数	乙获胜场数
5局3胜	8		10
7局4胜		1
合计			20

$α$	0.100	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828