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相关试卷

1、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，顶点 $P$ 在底面 $A B C D$ 上的射影 $H$ 落在线段 $A C$ 上（不含端点）， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 A D = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若二面角 $A - B C - P$ 的大小为 $α$ ，直线 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $β$ ，求 $\frac{tan α}{tan β}$ 的值.

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2、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - b x + a^{2} (a, b \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处有极值 $10$ ，求 $b$ 的值；

(2)、对任意 $a \in [- 1, + \infty)$ ， $f (x)$ 在 $[- 2, 0]$ 上单调递增，求 $b$ 的最大值.

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3、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ .已知 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求函数 $f (x) = sin (2 x - A) - sin (2 x + B + C)$ 在 $[0, π]$ 上的单调递增区间.

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4、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 内一点，且 $A P = 1$ .若 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $2 λ + 3 μ$ 的最大值为.

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5、已知 $P$ 为一个圆锥的顶点， $P A$ 是母线， $P A = 2$ ，该圆锥的底面半径为 $\sqrt{3}$ . $B$ 、 $C$ 分别在圆锥的底面上，则异面直线 $P A$ 与 $B C$ 所成角的最小值为.

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6、圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ 被 $x$ 轴截得的弦长为．

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7、我们把 $cosh x$ 称为双曲余弦函数，其函数表达式为 $cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，相应地双曲正弦函数的函数表达式为 $sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ .若直线 $x = m$ 与双曲余弦函数 $C_{1}$ 曲线和双曲正弦函数 $C_{2}$ 曲线分别相交于点 $A, B$ ，曲线 $C_{1}$ 在点 $A$ 处的切线与曲线 $C_{2}$ 在点 $B$ 处的切线相交于点 $P$ ，则（）

A、 $y = sinh x cosh x$ 是奇函数 B、 $cosh (x + y) = cosh x cosh y - sinh x sinh y$ C、 $|B P|$ 在 $(- \infty, 0)$ 随 $m$ 的增大而减小，在 $(0, + \infty)$ 随 $m$ 的增大而增大 D、 $△ P A B$ 的面积随 $m$ 的增大而减小

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8、已知 $F$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的右焦点， $P (m, n)$ 是 $C$ 上的一个动点，则下列说法正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的长轴长是2 B、 $|P F|$ 的最大值是 $2 + \sqrt{3}$ C、 $△ O F P$ 的面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，其中 $O$ 为坐标原点 D、直线 $x + y + t = 0$ 与椭圆 $C$ 相切时， $t = \pm \sqrt{5}$

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9、下列说法正确的是（）

A、有一组数 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $5$ ，这组数的第 $75$ 百分位数是 $3$ B、在 $α = 0.01$ 的独立性检验中，若 $χ^{2}$ 不小于 $α$ 对应的临界值 $x_{0.01}$ ，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 $0.01$ C、随机变量 $X ~ B (n, p)$ ，若 $E (X) = 60$ ， $D (X) = 20$ ，则 $n = 180$ D、以 $\hat{y} = c e^{k x}$ 拟合一组数据时，经 $z = ln y$ 代换后的经验回归方程为 $\hat{z} = 0.2 x + 0.3$ ，则 $c = e^{0.3}$ ， $k = 0.2$

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10、已知 $13^{7} < 21^{6}$ ， $34^{6} < 21^{7}$ ，设 $a = {log}_{34} 21$ ， $b = {log}_{21} 13$ ， $c = {log}_{13} 8$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ .若直线 $3 x + 2 y = 0$ 与 $C$ 没有公共点，则 $C$ 的离心率的范围为（）

A、 $(1, \frac{\sqrt{13}}{2})$ B、 $(0, \frac{\sqrt{13}}{2})$ C、 $(1, \frac{\sqrt{13}}{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{13}}{2}, + \infty)$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x}, x \leq 0 \\ {log}_{2} x, x > 0 \end{array}$ ，则 $f [f (\frac{1}{4})] =$ （）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $4$ D、 $16$

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13、在复平面内，复数 $z$ 对应的向量 $\vec{O Z} = (1, 2)$ ，则 $|z - 3| =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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14、已知集合 $A = \{x |1 < x < 3\}$ ， $B = \{x |x < a\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 3)$ B、 $(- \infty, 3]$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $[3, + \infty)$

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15、在几何学中常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线 $C : y = f (x)$ 上的曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ ，其弧长为 $Δ s$ ，当动点从 $A$ 沿曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ 运动到 $B$ 时， $A$ 点的切线 $l_{A}$ 也随着转动到 $B$ 点的切线 $l_{B}$ ，记这两条切线之间的夹角为 $Δ θ$ （它等于 $l_{B}$ 的倾斜角与 $l_{A}$ 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则曲线的弯曲程度越大，因此可以定义 $\bar{K} = |\frac{Δ θ}{Δ s}|$ 为曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ 的平均曲率；显然当 $B$ 越接近 $A$ ，即 $Δ s$ 越小， $K$ 就越能精确刻画曲线 $C$ 在点 $A$ 处的弯曲程度，因此定义 $K = lim_{Δ s \to 0} |\frac{Δ θ}{Δ s}| = \frac{|y^{″}|}{{(1 + {y^{'}}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ （若极限存在）为曲线 $C$ 在点 $A$ 处的曲率．（其中 $y^{'}$ ， $y^{″}$ 分别表示 $y = f (x)$ 在点 $A$ 处的一阶，二阶导数）

(1)、求单位圆上圆心角为 $45^{\circ}$ 的圆弧的平均曲率；

(2)、求抛物线 $y^{2} = 8 x$ 在 $(2, 4)$ 处的曲率；

(3)、定义 $φ (y) = \frac{2 \sqrt{2} |y^{″}|}{{(1 + y^{'})}^{3}}$ 为曲线 $y = f (x)$ 的“柯西曲率”．已知在曲线 $f (x) = x ln x - 2 x$ 上存在两点 $P (x_{1}, f (x_{1}))$ 和 $Q (x_{2}, f (x_{2}))$ ，若 $x_{2} \geq 8 x_{1}$ 且 $P$ ， $Q$ 处的“柯西曲率”相同，求 $\sqrt[3]{x_{1}} + \sqrt[3]{x_{2}}$ 的最小值．

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16、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = A B = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $P B$ ， $P D$ 的中点．设平面 $A E F \cap$ 平面 $A B C D = m$ ．

(1)、求证： $m // B D$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值；

(3)、若平面 $A E F$ 与棱 $P C$ 交于点 $M$ ，求 $\frac{P M}{P C}$ 的值．

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17、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $P (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆 $C$ 上．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，当 $△ F_{1} A B$ 的面积最大时，求此时直线 $l$ 的方程．

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1} = 4$ ，且满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 6 \times 5^{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证： $\{a_{n} - 5^{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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19、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $sin C = sin A cos B + \frac{1}{2} sin B$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b + c = 2 a$ ， $△ A B C$ 外接圆的半径为2，求 $△ A B C$ 的面积．

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20、一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点 $P (4, 2)$ 的跳法共有种．（用数字作答）

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