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相关试卷

1、已知点 $P (3, - 4)$ 是角 $α$ 终边上一点，则 $cos 2 α =$ ．

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2、已知平面向量 $\vec{a} = (5, 0), \vec{b} = (2, - 1)$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为．

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3、直线 $x + \sqrt{3} y + 5 = 0$ 的倾斜角是．

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4、若 $z (1 + i) = 2 + 3 i$ ，则复数 $z$ 的虚部是．

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5、已知集合 $M = {x | - 3 < x < 1}$ ， $N = {x | - 1 \leq x < 4}$ ，则 $M \cup N =$ ．

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6、对于正整数 $n$ ，如果 $k (k \in N^{*})$ 个整数 $a_{1}, a_{2}, \dots a_{k}$ 满足 $1 \leq a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{k} \leq n$ ，且 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} = n$ ，则称数组 $(a_{1}, a_{2}, \dots a_{k})$ 为 $n$ 的一个“正整数分拆”.记 $a_{1}, a_{2}, \dots a_{k}$ 均为偶数的“正整数分拆”个数为 $f_{n}, a_{1}, a_{2}, \dots a_{k}$ 均为奇数的“正整数分拆”个数为 $g_{n}$ .

(1)、写出整数4的所有“正整数分拆”；

(2)、对于给定的整数 $n (n \geq 4)$ ，设 $(a_{1}, a_{2}, \dots a_{k})$ 是 $n$ 的一个“正整数分拆”，且 $a_{1} = 2$ ，求 $k$ 的最大值；

(3)、对所有的正整数 $n$ ，证明： $f_{n} \leq g_{n}$ ；并求出使得等号成立的 $n$ 的值.

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7、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 2 a - 2, g (x) = 2 |x - 1|$ ，函数 $F (x) = min \{f (x), g (x)\}$ ，其中 $min \{p, q\} = \{\begin{matrix} p, p \leq q \\ q, p \geq q \end{matrix}$ ．

(1)、是否存在 $a, b$ ，使得曲线 $y = f (x) \cdot g (x)$ 关于直线 $x = b$ 对称？若存在求 $a, b$ 的值；

(2)、若 $a \geq 6$ ，
①求使得 $F (x) = f (x)$ 成立的 $x$ 的取值范围；
②求 $F (x)$ 在区间 $[0, 6]$ 上的最大值 $M (a)$ ．

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8、环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．绵阳某化工厂每一天中污水污染指数 $f (x)$ 与时刻 $x$ （时）的函数关系为 $f (x) = |\log_{25} (x + 1) - a| + 2 a + 1, x \in [0, 24]$ 其中 $a$ 为污水治理调节参数，且 $a \in (0, 1)$ 。

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；

(2)、规定每天中 $f (x)$ 的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过 $3$ ，则调节参数a应控制在什么范围内？

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9、设 $a, b, c \in R, a + b + c = 0, a b c = 1$ ．注： ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a$

(1)、证明： $a b + b c + c a < 0$ ；

(2)、若 $a \geq b \geq c$ ，求 $a$ 的最小值．

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10、已知集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 5}, B = {x | a x - 1 \geq 0}$ ．

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、从① $A \cap B = A$ ；② $B \cup (∁_{R} A) = R$ ；③ $A \cap (∁_{R} B) = \emptyset$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答．
问题：若_________，求实数 $a$ 的取值范围．

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11、已知函数 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} + m^{2} - 3$ ，若 $f (x)$ 的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数 $m$ 的取值范围为．

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12、已知 $a$ ， $b > 0$ 且 $a b = a + b + 3$ ，则 $a + b$ 的取值范围为.

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13、集合 $A = \{0\}, B = \{0, 1, 2, 3\}, A \subseteq C \subseteq B$ ，则符合条件的集合 $C$ 的个数为．

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14、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的函数.对任意 $a, b \in R$ ，总有 $f (a + b) = f (a) + f (b)$ ， $f (- 1) = \frac{2}{3}$ ，且 $x < 0$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立.则（）

A、 $f (2) = - \frac{4}{3}$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减 D、 $f (\frac{1}{3}) + f (\frac{2}{3}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{2023}{3}) = - \frac{2023 \times 2024}{9}$ （注： $1 + 2 + \cdot \cdot \cdot + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ ）

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15、已知 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{2^{x} - 1}$ 是奇函数，则（）

A、 $a = 1$ B、 $f (x)$ 在 $x \in (- \infty, 0)$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $f (3^{x}) > f (\sqrt{3})$ 的解集为 $x \in (- \infty, \frac{1}{2})$

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16、下列说法正确的有（）

A、 $\forall x \in R, x + |x| \geq 0$ B、“ $a > 1$ ”是“ $a^{2} > a$ ”的充分不必要条件 C、“ $a b = 0$ ”是“ $a^{2} + b^{2} = 0$ ”的充要条件 D、“ $a > b$ ”是“ $0 < \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的必要不充分条件

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17、已知函数 $f (x)$ 在定义域 $(0, + \infty)$ 上单调，若对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (f (x) - ln x) = 1 + e$ ，则方程 $x f (x) - 2 x - 1 = 0$ 的解的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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18、函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2 x + 4 \sqrt{3 - x}, x \leq 3 \\ - 2 x + 4 \sqrt{x - 3} + 12, x > 3 \end{matrix}$ 的值域为（）

A、 $(- \infty, 8]$ B、 $(- \infty, 6]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $[4, + \infty)$

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19、镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为 ${log}_{3} 5, \sqrt[3]{3}, \sqrt{2} (lg 2 \approx 0.28, lg 3 \approx 0.48)$ ，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）

A、丙同学和甲同学 B、乙同学和甲同学 C、甲同学和丙同学 D、乙同学和丙同学

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20、函数 $r = f (p)$ 的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是

A、 $[- 5, 0],[2, 6)$ 和 $[- 5, 0] \cup [2, 6]$ B、 $[- 5, 0] \cup [2, 6)$ 和 $[- 5, 0],[2, 6]$ C、 $[- 5, 0],[2, 6)$ 和 $(- 5, 0) \cup (2, 6)$ D、 $[- 5, 0] \cup [2, 6)$ 和 $(- 5, 0), (2, 6)$

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