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相关试卷

1、下列函数中，在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递减的是（）

A、 $f (x) = x$ B、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = x^{2} + 2 x$ D、 $f (x) = | x |$

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2、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} < 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} \leq 0$ C、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} < 0$ D、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} \leq 0$

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3、已知集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {0, 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${2}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${0, 1, 2}$

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4、已知集合 $A = {x | - 2 \leq x - 1 \leq 5}$ 、集合 $B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ （ $m \in R$ ）.

(1)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、设命题 $p$ ： $x \in A$ ；命题 $q$ ： $x \in B$ ，若命题 $p$ 是命题 $q$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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5、已知集合 $M = \{0, 1, 2\}$ ， $N = \{x |x^{2} - 3 x < 0\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{x |0 \leq x < 3\}$ D、 $\{x |0 < x < 3\}$

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6、设 $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) = \{\begin{matrix} - f (- x), x \geq 0 \\ f (x), x < 0 \end{matrix}$ ，则不等式 $g (x) \leq 2 + x$ 的解集为.

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7、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为开区间 $I$ ，若存在 $x_{0} \in I$ ，使得 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线 $l$ 与 $y = f (x)$ 的图像只有唯一的公共点，则称 $y = f (x)$ 为“ $L$ 函数”，切线 $l$ 为一条“ $L$ 切线”．

(1)、判断 $y = x - 1$ 是否是函数 $y = ln x$ 的一条“ $L$ 切线”，并说明理由；

(2)、设 $g (x) = e^{2 x} - 6 x$ ，求证： $y = g (x)$ 存在无穷多条“ $L$ 切线”；

(3)、设 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 1 (0 < x < c)$ ，求证：对任意实数 $a$ 和正数 $c ， y = f (x)$ 都是“ $L$ 函数”

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8、记代数式 $M = {log}_{a} (|x - a^{2}| + |x - 2 a + 1| - 9), N = {(- 1 - x)}^{\frac{1}{6}} + {(4 + x)}^{\frac{3}{8}}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求使代数式 $M$ 有意义的实数 $x$ 的集合；

(2)、若存在实数 $x$ 使得代数式 $M + N$ 有意义，求实数 $a$ 的取值范围.

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9、某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， …….

(1)、写出 $a_{2}$ 和 $a_{3}$ ，并求出 $a_{n + 1}$ 与 $a_{n}$ 之间的递推关系式；

(2)、求证：数列 $\{a_{n} + 40\}$ 为等比数列，并求出数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

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10、已知 $f (x) = sin ω x (ω > 0)$ .

(1)、函数 $y = f (x)$ 的最小正周期是 $4 π$ ，求 $ω$ ，并求此时 $f (x) = \frac{1}{2}$ 的解集；

(2)、已知 $ω = 1$ ， $g (x) = f^{2} (x) + \sqrt{3} f (- x) f (\frac{π}{2} - x)$ ，求函数 $y = g (x)$ ， $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 的值域.

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11、已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 满足 $|\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$ ， $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ，且 $λ + 2 μ = 1$ ．若对每一个确定的向量 $\vec{a}$ ，记 $|\vec{c}|$ 的最小值为 $m$ ．现有如下两个命题
命题 $P :$ 当 $\vec{a}$ 变化时， $m$ 的最大值为 $\frac{2}{3}$ ；
命题 $Q$ ：当 $\vec{a}$ 变化时， $m$ 可以取到最小值0；
则下列选项中，正确的是（）

A、 $P$ 为真命题， $Q$ 为假命题 B、 $P$ 为假命题， $Q$ 为真命题 C、 $P$ 、 $Q$ 都为真命题 D、 $P$ 、 $Q$ 都为假命题

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12、若实数 $x$ 、 $y$ 、 $m$ 满足 $|x - m| < |y - m|$ ，则称 $x$ 比 $y$ 接近 $m$ .若围棋状态空间复杂度的上限M约为 $3^{361}$ ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为 $10^{80}$ ，则下列各数中最接近 $\frac{M}{N}$ 的是（）

A、10³³ B、10⁵³ C、10⁷³ D、10⁹³

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13、若 $a$ 、 $b \in R$ ，且 $a b > 0$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq a + b$ B、 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ C、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 4 a b$

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14、已知等差数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ ，若存在有穷等比数列 $B : b_{1}, b_{2}, \dots, b_{N}$ ，其中 $b_{1} = 1$ ，公比为 $q$ ，满足 $b_{k - 1} \leq a_{k - 1} \leq b_{k}$ ，其中 $k = 2, 3, \dots, N$ ，则称数列 $B$ 为数列 $A$ 的长度为 $N$ 的“等比伴随数列”．数列 $A$ 的通项公式为 $a_{n} = n$ ，数列 $B$ 为数列 $A$ 的长度为 $N$ 的“等比伴随数列”，则 $N$ 的最大值为．

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15、若函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = \{\begin{matrix} - a x + 1, x < a \\ {(x - 2)}^{2}, x \geq a \end{matrix}$ ，且存在最小值，则a的取值范围为．

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16、设 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $\dots$ ， $A_{7}$ 是均含有 $2$ 个元素的集合，且 $A_{1} \cap A_{7} = \emptyset$ ， $A_{i} \cap A_{i + 1} = \emptyset (i = 1, 2, 3, \dots, 6)$ ，记 $B = A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup \dots \cup A_{7}$ ，则 $B$ 中元素个数的最小值是．

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17、下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据： $A B = 34.64 cm$ ， $A D = 10 cm, B E = 14 cm, A = B = \frac{π}{6}$ ，则 $D, E$ 两点间距离为cm.（精确到1cm）

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18、若函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 在区间 $(0, 1)$ 上有极值点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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19、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - x + m < 0$ 的解集是 $\emptyset$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{10} = 24$ ，且 $a_{3} = 6$ ，则 $S_{8} =$ ．

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