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相关试卷

1、函数 $f (x) = a sin x + b cos x$ 图象的一条对称轴为直线 $x = \frac{π}{6}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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2、正项递增等比数列 ${a_{n}}$ ，前n项的和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{4} = 30$ ， $a_{1} a_{5} = 81$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、121 B、364 C、728 D、1093

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3、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是边 $B C$ 上一点，若 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、1

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4、设集合 $A = \{x |1 < x < 2\}$ ， $B = \{x |x < a\}$ ，若 $A \cap B = A$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 1$ B、 $a \geq 2$ C、 $a \leq 1$ D、 $a \leq 2$

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5、定义：对函数 $y = f (x), x \in D_{1}$ 和 $y = g (x), x \in D_{2}$ ， $D_{1} \cap D_{2} = D$ ，若对任意 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，均有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < k |g (x_{1}) - g (x_{2})|$ ，则称“函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 具有 $k$ 类性质”.

(1)、判断 $f (x) = \frac{1}{x}$ 与 $g (x) = \frac{1}{2} x, x \in [1 ， + \infty)$ 是否具有 $2$ 类性质，并说明理由；

(2)、已知 $g (x) = 4 x - \frac{1}{x}$ ， $x \in [1 ， 2]$
①若 $f (x) = x^{2} + a x + b$ 与 $g (x)$ 具有 $1$ 类性质，求 $a$ 的取值范围；
②若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有 $2$ 类性质，且 $f (1) = f (2)$ ，证明：对任意 $x_{1}, x_{2} \in [1 ， 2]$ ， $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < \frac{9}{2}$ .

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6、函数 $f (x)$ 满足：对任意实数 $x$ ， $y$ ，有 $f (x y) = x f (y) + y f (x)$ 成立；函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ， $(x \neq 0)$ ， $g (2) = 1$ ，且当 $x > 1$ 时， $g (x) > 0$ .

(1)、求 $f (- 1)$ 并证明函数 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、证明：函数 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增；

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $g (x^{2} + 2 x + 3) - g (t x) > 2$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围.

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7、某市为迎接国庆游客，出台了一系列政策.已知该市最多能容纳游客35万人，每万名游客平均可创造160万元的经济效益.已知该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流动成本两部分，其中固定成本为300万元/年，每接待 $x$ 万名游客需要投入的流动成本为 $f (x)$ （单位：万元），
当游客人数不超过14万人时， $f (x) = \frac{200}{3} x^{2} - 1040 x + 3850$ ；
当游客人数超过14万人时， $f (x) = 170 x + \frac{4000}{x} - 1900$ ．

(1)、写出该市旅游净收入 $g (x)$ （万元）关于游客人数 $x$ （万人）的函数解析式；（注：旅游净收入 $=$ 旅游收入 $-$ 固定成本 $-$ 流动成本）；

(2)、当游客人数达到多少万人时，该市的旅游净收入能达到最大？

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8、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是矩形，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 是菱形， $M, N$ 分别是 $A B_{1}, B C_{1}$ 的中点，且 $A C ⊥ B C_{1}$ ．

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $A C = 2$ ，且 $△ B C C_{1}$ 是边长为4的正三角形，求三棱锥 $B - A B_{1} C$ 的体积．

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 6 x - 5, x < 0 \\ |{(\frac{1}{2})}^{x} - 1|, x \geq 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} + (2 a - 3) f (x) + a^{2} - 3 a = 0$ 有5个不同的实数根，则 $a$ 的取值范围为․

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10、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $x \leq 0$ 时， $f (x) = 2 x^{2} - 3 x + m$ ，则 $f (1) =$ .

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11、直线 $x + \sqrt{3} y + 6 = 0$ 的倾斜角大小为.

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12、已知非空集合 $A$ $\begin{matrix} \subset \\ \neq \end{matrix}$ R，若对 $\forall x, y \in A$ ，都有 $x + y \in A$ ， $x y \in A$ 成立，则称集合 $A$ 是封闭集.下列说法中正确的是（）

A、集合 ${x ∣ x = 2 k, k \in Z}$ 是封闭集 B、若集合 $A$ 是封闭集，则 $∁_{R} A$ 也是封闭集 C、若集合 $P$ ， $Q$ 为封闭集，且 $P \cup Q \neq R$ ，则 $P \cup Q$ 也是封闭集 D、若集合 $P$ ， $Q$ 为封闭集，且 $P \cap Q \neq \emptyset$ ，则 $P \cap Q$ 也是封闭集

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13、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、若 $a > b > 0$ ，且 $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a^{2}} > \frac{c}{b^{2}}$ D、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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14、下列说法正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a b > b^{2}$ ． B、若 $a > b > c$ ，则 $a - b > b - c$ ． C、“ $a > 1$ ， $b > 1$ ”是“ $a + b > 1$ ”成立的充分不必要条件． D、“ $a > b$ ”是“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”的必要不充分条件．

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15、已知 $f (x) = \{\begin{cases} a^{x} + x, x \leq 1 \\ x^{2} - (a - 2) x + b, x > 1 \end{cases}$ ，存在实数 $(a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，对于 $R$ 上任意不相同的 $x_{1}, x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 1$ ，则实数 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $[4, + \infty)$ C、 $(0, 4]$ D、 $[0, 4]$

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16、已知 $a = {0.1}^{0.2}$ ， $b = {0.2}^{0.1}$ ， $c = 2^{0.02}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c<a<b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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17、已知 $a < b$ ，则下列不等关系中一定成立的是（）

A、 $a b < b^{2}$ B、 $a - b < 0$ C、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、 $a^{2} < b^{2}$

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18、设命题p： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 4 x + 2 m \geq 0$ （其中m为常数），则“命题p为真命题”是“ $m > \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知集合 $A = \{x |0 < x < 2\}$ ， $B = \{x |2 x + 1 < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |0 < x < 1\}$ B、 $\{x |1 < x < 2\}$ C、 $\{x |x > 0\}$ D、 $\{x |x < 2\}$

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20、若直线 $y = k (x - 3)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 只有一个公共点，则 $k$ 的一个取值为．

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