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相关试卷

1、如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，点M为 $A^{'} C^{'}$ 与 $B^{'} D^{'}$ 的交点，若 $\overset{⃑}{A^{'} B^{'}} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{A^{'} D^{'}} = \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{A^{'} A} = \overset{⃑}{c}$ ，则下列向量中与 $\overset{⃑}{B M}$ 相等的向量是（）.

A、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} - \overset{⃑}{c}$ B、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$

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2、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底，则下列选项中可以构成基底的是（）

A、 $\vec{b} + \vec{c}$ ， $2 \vec{c} - \vec{b}$ ， $\vec{a}$ B、 $\vec{a}$ ， $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c}$

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3、给出下列命题：
①若空间向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ ；
②在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，必有 $\vec{A C} = \vec{A_{1} C_{1}}$ ；
③若空间向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} = \vec{b}, \vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ ．
其中假命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4、下列函数中，在 $R$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \tan x$ B、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ C、 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ D、 $f (x) = \{\begin{array}{l} x - 1, x \leq 1 \\ \ln x, x > 1 \end{array}$

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5、设全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $M = \{1, 3, 4\}$ ， $N = \{2, 4, 5\}$ ，则 $M \cap (∁_{U} N) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{4\}$ C、 $\{1, 3\}$ D、 $\{2, 5\}$

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6、设 $i$ 为虚数单位，若复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的实部为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7、已知向量 $\vec{a} = (- 3, 2, 5)$ ， $\vec{b} = (1, x, - 1)$ 且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、4 B、2 C、3 D、1

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8、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{4} \vec{a}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 为.

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9、已知平面直角坐标系中，圆 $O : x^{2} + y^{2} = 8$ ，点 $P (- 4, 2)$ ，

(1)、若 $A$ 是圆 $O$ 上的动点，线段 $A P$ 的中点为 $M$ ，求 $M$ 的轨迹方程；

(2)、以 $O P$ 为直径的圆交圆 $O$ 于 $C$ ， $D$ 两点，求 $|C D|$ .

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10、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是等腰三角形， $∠ A C B = 120^{\circ}$ ， $A C = B C = A A_{1}$ ， $D$ ， $E$ 分别是棱 $A B$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、求直线 $D E$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成的角的正弦值.

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11、在平面直角坐标系中，已知圆 $M : x^{2} + y^{2} + 2 x = 1$ ，直线 $l : 2 x - y - 3 = 0$ ，过 $l$ 上一点 $P$ 作圆 $M$ 的切线，切点为A，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P M}$ 的最小值为.

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12、已知正三角形 $A B C$ 的边长为1， $D$ 在平面 $A B C$ 内，若向量 $\vec{A D}$ 满足 ${\vec{A D}}^{2} - 4 \vec{A D} \cdot \vec{A B} + 3 = 0$ ，则 $| \vec{C D} |$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、2 D、3

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13、已知点 $Q (1, 2, 3)$ ，平面 $α = {P | \vec{n} \cdot \vec{P Q} = 0}$ ，其中 $\vec{n} = (2, - 1, 2)$ ，则点 $A (- 1, 0, 1)$ 到平面 $α$ 的距离是（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、2 D、3

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14、已知 $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面，且直线 $l ⊥ α$ ，则“ $α ⊥ β$ ”是“ $l // β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、解关于x的不等式．

(1)、 $x^{2} + a x + 1 < 0$ （ $a \in R$ ）；

(2)、 $a x^{2} - (a + 1) x + 1 < 0$ ．

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16、已知集合 $A = \{x ∣ a x^{2} - (a + 1) x + 1 > 0, a < 1\}, B = \{x ∣ x > 0\}$ .

(1)、当 $a = - 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、求 $A \cap B$ .

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17、设函数 $y = - m x^{2} + m x - 1$ .

(1)、若命题： $\exists x \in R, y > 0$ 是假命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若存在 $0 < x < 4$ ，使得 $y \geq (- m + 1) x^{2} + 3$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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18、已知实数 $a, b$ 满足 $4 a + b - a b = 0$ ，且 $a b > 0$ ，若关于 $t$ 的不等式 $a + b \geq t^{2} + 5 t + 3$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是 .

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19、已知 $a > b > 0, b > c$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{b}{a^{2}} < \frac{a}{b^{2}}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $\frac{1}{a - c} < \frac{1}{b - c}$ D、 $a + c > b - c$

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20、已知命题p：“∀x∈ $R$ ， (a＋1)x²－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是（）

A、－1<a<2 B、a≥1 C、a<－1 D、－1≤a<2

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