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相关试卷

1、近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒 $x$ 年（ $x$ 为正整数）所用的各种费用总计为 $2 x^{2} + 10 x$ 万元.

(1)、该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？

(2)、该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？

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2、《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．
例如， $a b = 1$ ，求证： $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} = 1$ ．证明：原式 $= \frac{a b}{a b + a} + \frac{1}{1 + b} = \frac{b}{1 + b} + \frac{1}{1 + b} = 1$ ．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
阅读材料二：基本不等式 $\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ），当且仅当 $a = b$ 时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在 $x > 0$ 的条件下，当 $x$ 为何值时， $x + \frac{1}{x}$ 有最小值，最小值是多少？
解： $∵ x > 0$ ， $\frac{1}{x} > 0$ ， $∴ \frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ ，即 $x + \frac{1}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ ， $∴ x + \frac{1}{x} \geq 2$ ，当且仅当 $x = \frac{1}{x}$ ，即 $x = 1$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：

(1)、已知 $a \cdot b = 1$ ，求 $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$ 的值．

(2)、若 $a \cdot b \cdot c = 1$ ，解关于 $x$ 的方程 $\frac{5 a x}{a b + a + 1} + \frac{5 b x}{b c + b + 1} + \frac{5 c x}{c a + c + 1} = 1$ ．

(3)、若正数 $a$ ， $b$ 满足 $a \cdot b = 1$ ，求 $M = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + 2 b}$ 的最小值．

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3、已知 $a = {0.3}^{1.5}, b = \log_{1.5} 0.3, c = {1.5}^{0.3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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4、已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - \ln x + \ln a$ ．
（1）当 $a = e$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式 $f (x) \geq 1$ 恒成立，求a的取值范围．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$ .
(1)证明 $\{a_{n} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
(2)证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{n}} < \frac{3}{2}$ .

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6、等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{5} = 4 a_{3}$ ．
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）记 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m} = 63$ ，求 $m$ ．

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7、等差数列中，设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{2} + a_{4} = 8$ ，

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前8项和 $S_{8}$ .

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8、 $2, m, 8$ 为等比数列的前三项，则 $m$ 的可能值为（）

A、4 B、5 C、 $- 4$ D、 $- 5$

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9、设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（　　）

A、∅ B、{2} C、{﹣2，2} D、{﹣2，1，2，3}

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10、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $P$ 在直线 $A D_{1}$ 上， $Q$ 为线段 $B D$ 的中点，则下列命题中假命题为（）

A、存在点 $P$ ，使得 $P Q ⊥ A_{1} C_{1}$ B、存在点 $P$ ，使得 $P Q // A_{1} B$ C、直线 $P Q$ 始终与直线 $C C_{1}$ 异面 D、直线 $P Q$ 始终与直线 $B C_{1}$ 异面

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11、在学习完基本不等式与一元二次方程这一章节后，某校高一数学老师带领全班同学在数学课堂上做了一个有趣的实验，该实验的目的主要是体现不等式在实际生活中的应用老师要求同学们准备了一张周长为 $10 \sqrt{2} cm$ 的矩形纸片 $A B C D$ （其中 $A B > A D$ ），将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 向 $△ A D C$ 折叠， $A B$ 折过去后交 $D C$ 于点 $P$ .如果在保持矩形周长不变且 $A B$ 折过去后交 $D C$ 于点 $P$ 的情况下，适度改变 $A B$ 的长度，问： $△ A D P$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由.

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12、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 满足 $f (x + 1) - f (x) = 2 x - 1$ ，且 $f (1) = - 4$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、集合 $A = {x ∣ f (x) + (2 + m) x < 0}, B = {x ∣ - 1 < x < 2}$ ，若 $B \subseteq A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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13、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a}{x}$ ，且 $f (1) = 10$ .

(1)、求 $a$ ；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $[3, + \infty)$ 上的单调性，并用定义法证明；

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[3, 6]$ 上的最大值和最小值.

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14、已知集合 $A = \{x |x \geq 3\}$ ， $B = \{x |1 \leq x \leq 7\}$ ， $C = \{x |x \geq a - 1\}$ .

(1)、求 $A \cap B$ ， $∁_{R} (A \cup B)$ ， $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $C \cup A = C$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \begin{array}{l} (3 a - 1) x + 4 a, x < 1 \\ \frac{a}{x}, x \geq 1 \end{array} \end{array}$ ，满足对任意的实数 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) < 0$ ，则实数a的取值范围是.

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16、函数 $f (x) = |x - 2| x$ 的单调递增区间为．

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17、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，如 $[3.24] = 3, [- 1.5] = - 2$ .设函数 $f (x) = x - [x]$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 的最大值为1，没有最小值 C、 $f (\sqrt{6}) + f (\sqrt{13}) > 1$ D、 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数

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18、下列四个结论中，正确的结论是（）

A、 $y = \sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 - x}$ 与 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 表示同一个函数． B、“ $1 < x < 3$ ”的充分不必要条件是“ $0 \leq x \leq 4$ ”． C、已知 $2 < a < 3, - 2 < b < - 1$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围的取值范围是 $(- 3, - 1)$ ． D、函数 $y = x + \sqrt{x - 1}$ 的值域为 $[\frac{3}{4}, + \infty)$ ．

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19、给出下列四个命题，其中正确命题的是（）

A、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$ ； B、若 $a^{2} x > a^{2} y$ ，则 $x > y$ ； C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$ ； D、若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则 $a b < b^{2}$ .

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20、已知 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的偶函数，对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 且 $f （ 2 ） = 4$ ，则不等式 $f (x) \geq 4$ 的解集为（）

A、 $[- 2 ， 0) \cup [2, + \infty)$ B、 $[- 2 ， 0) \cup (0 ， 2]$ C、 $(- \infty ， - 2]\cup[2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup (0, 2]$

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