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相关试卷

1、已知函数 $f_{n} (x) = \sin^{n} x + \cos^{n} x, n \in N^{*}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\cos 2 x = \frac{3}{5}$ ，则 $f_{4} (x) = \frac{17}{25}$ B、当 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 时，函数 $y = f_{4} (x)$ 与 $y = \sin 4 x + \frac{3}{4}$ 的图象恰有5个交点 C、当 $n = 2 k + 1, k \in N^{*}$ 时，函数 $y = f_{n} (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 成轴对称图形 D、当 $n = 2 k, k \in N^{*}$ 时，记函数 $f_{2 k} (x)$ 的最小值为 $a_{k}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} < 2$

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2、已知数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 为无穷等差数列，公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $S_{5} = S_{17}$ ， $d < 0$ ，则 $a_{11} > 0$ ， $a_{12} < 0$ B、若 $m, n, p, q \in N^{*}$ 且互不相等，则 $\frac{a_{m} - a_{n}}{m - n} = \frac{a_{p} - a_{q}}{p - q}$ C、若 $m, n, p, q \in N^{*}$ ， $m < p < n < q$ ， $m + n = p + q$ ，则 $a_{m} a_{n} < a_{p} a_{q}$ D、若 $a_{2025} = 0$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{4049 - n} (n \in N^{*}, n < 4049)$

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3、为了研究某校高三年级学生的性别和身高是否低于 $170cm$ 的关联性，研究小组从该校高三学生中获取容量为500的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列联表：
单位：人
性别
身高
合计
低于 $170cm$
不低于 $170cm$
女
140
60
200
男
120
180
300
合计
260
240
500
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
α
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$x_{α}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的 $\frac{1}{10}$ 后再进行独立性检验，则下列说法正确的是（）

A、依据 $α = 0.01$ 的独立性检验，小组成员甲可以认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联 B、依据 $α = 0.01$ 的独立性检验，小组成员甲不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联 C、小组成员甲、乙计算出的 $χ^{2}$ 值相同，依据 $α = 0.01$ 的独立性检验，他们得出的结论也相同 D、小组成员甲、乙计算出的 $χ^{2}$ 值不同，依据 $α = 0.01$ 的独立性检验，他们得出的结论也不同

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4、已知函数 $f (x) = \ln (x^{2} - 2 x + 3) + e^{|x - 1|}$ ，设 $a = f (0), b = f (\log_{3} 4), c = f (\log_{4} 5)$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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5、已知实数a满足 $2^{a} + a = 2$ ，则函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1 - a$ 的零点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6、点 $P$ 在边长为 $1$ 的正三角形 $A B C$ 的外接圆上，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7、设 $m, n$ 为两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不同的平面，则下列说法一定成立的是（）

A、若 $α ∥ β$ ， $m ∥ α$ ，则 $m ∥ β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $γ ⊥ β$ ，则 $α ∥ γ$ C、若 $m ∥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $m, n$ 与 $α$ 所成角相等，则 $m ∥ n$

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8、已知平行四边形 $A B C D$ 的顶点 $A (0, 1)$ ，边 $A B$ 所在直线方程是 $x - y + 1 = 0$ ，对角线的交点为 $M (2, 2)$ ，边 $C D$ 所在直线方程为（）

A、 $x - y - 1 = 0$ B、 $x - y + 2 = 0$ C、 $x + y - 1 = 0$ D、 $x + y - 3 = 0$

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9、已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $e^{x} + e^{- x} \geq 2$ ，命题 $q$ ： $\exists x \in (0, 10)$ ， $\sqrt{x (10 - x)} > 5$ ，则（）

A、命题 $p$ 与 $q$ 均为真命题 B、命题 $p$ 与 $\neg q$ 均为真命题 C、命题 $\neg p$ 与 $q$ 均为真命题 D、命题 $\neg p$ 与 $\neg q$ 均为真命题

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10、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ （）

A、8 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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11、已知 $z \cdot (1 - 3 i) = 10$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 - 3 i$ B、 $1 + 3 i$ C、 $3 i$ D、 $- 3 i$

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12、已知一个正四棱锥的底面边长为1，高为 $\sqrt{2}$ ，则该正四棱锥的表面积为.

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13、已知 $⊙ C$ 的圆心在x轴上，经过点 $(1, \sqrt{3})$ 和 $(2, 2)$ ．

(1)、求 $⊙ C$ 的方程；

(2)、过点 $P (3, 1)$ 的直线l与 $⊙ C$ 交于A、B两点．
（ⅰ）若 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程；
（ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程．

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14、设直线 $l_{1} : x + 3 y - 7 = 0$ 与直线 $l_{2} : x - y + 1 = 0$ 的交点为P，则P到直线 $l : x + a y + 2 - a = 0$ 的距离的最大值为．

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15、投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（）

A、0.648 B、0.432 C、0.36 D、0.312

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16、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一组基底，能与 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}$ 组成基底的向量是（）

A、 $\vec{a}$ B、 $\vec{b}$ C、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$

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17、设l，m，n是不同的直线，m，n在平面 $α$ 内，则“ $l ⊥ m$ 且 $l ⊥ n$ ”是“ $l ⊥ α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、 $x^{2} \leq 4$ 的一个充分不必要条件是（　　）

A、 $- 2 \leq x < 0$ B、 $x \geq - 2$ C、 $0 < x \leq 2$ D、 $- 2 \leq x \leq 2$

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19、在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求丙连胜四场的概率；

(2)、求需要进行第五场比赛的概率；

(3)、甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由.

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20、如图，在直三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = \sqrt{2} A A^{'}$ ，点M，N分别为 $A^{'} B$ 和 $B^{'} C^{'}$ 的中点.

(1)、证明： $M N$ $∥$ 平面 $A^{'} A C C^{'}$ ；

(2)、求直线 $A^{'} N$ 与平面 $C M N$ 所成角的正弦值.

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单位：人
性别	身高		合计
性别	低于 $170cm$	不低于 $170cm$	合计
女	140	60	200
男	120	180	300
合计	260	240	500

α	$0.1$	$0.05$	$0.01$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$