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相关试卷

1、某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格 $φ (x)$ （单位：元）与时间第 $x$ 天的函数关系近似满足 $φ (x) = 10 + \frac{k}{x}$ ， $(k > 0)$ ，日销售量 $g (x)$ （单位：件）与时间第 $x$ 天的部分数据如下表所示：
$x$
10
15
20
25
30
$g (x)$
50
55
60
55
50
已知第10天的销售收入为505元.
提示：第10的销售收入=第10天每件销售价格×第10天的销售量

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下三个函数模型：① $g (x) = a x + b$ ；② $g (x) = \frac{a}{x} - b$ ；③ $g (x) = a |x - 20| + b$ ，根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量 $g (x)$ 与时间第 $x$ 天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域；

(3)、设过去一个月该工艺品日销售收入为 $f (x)$ （单位：元），求 $f (x)$ 的最小值.

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2、已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x}$ ．

(1)、求当 $x < 0$ 时 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用单调性定义判断函数 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上的单调性；

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $f (a x - 1) < f ((a - 1) x)$ ，其中 $a \in R$ 且 $a < 1$ ．

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} - (2 + k) x + 2 k$ ，其中 $k \in R$ ．

(1)、若关于x的方程 $f (x) = - \frac{1}{4} k^{2} + 2 k$ 有两实数根，且两实数根之积等于1，求k的值；

(2)、解关于x的不等式 $f (x) < 0$ ．

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4、化简求值：

(1)、 $27^{\frac{2}{3}} \times 3^{1 - \log_{3}^{2}} \times {(\sqrt{3} + 1)}^{0} \div {(\frac{81}{16})}^{\frac{3}{4}}$

(2)、 $\log_{2} 16 + \log_{5} 35 - \log_{5} 14 - \log_{5} \frac{1}{50} + \log_{3} 64 \cdot \log_{4} \sqrt[3]{3}$ ．

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5、已知函数 $f (x) = a^{x} + b (0 < a < 1)$ 的定义域和值域都是 $[- 1, 0]$ ，则 $a + b =$ .

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6、若 $x > 1$ ，则 $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是．

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7、已知函数 $f (x) = a^{x - 1} - 2 x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则 $f (x)$ 必过的定点 $P$ 的坐标为．

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8、不恒为 $0$ 的函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x y) = y f (x) + x f (y)$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (- 1) = 0$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 的最小值为 $0$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 4 x - 1, x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x - 2, x > 0 \end{array}$ ，若函数 $y = f (x)$ 的图象与函数 $y = k$ 的图象有3个交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- 5, + \infty)$ B、 $(- 2, + \infty)$ C、 $(- 5, - 2]$ D、 $(- 2, - 1]$

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10、已知函数 $f (x) = \sqrt{a x^{2} + b x + c}$ 的定义域为 $[- 2, 1]$ ，且 $f (x) \leq 3$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $- \frac{4}{3} < a < 0$ B、 $- 4 \leq a < 0$ C、 $- \frac{4}{3} \leq a < 0$ D、 $- 4 < a < 0$

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11、下列命题是假命题的是（）

A、每个正方形都是平行四边形 B、 $\forall x \in$ ${y |y$ 是无理数 $}$ ， $x^{3}$ 是无理数 C、 $\exists m \in N$ ， $\sqrt{m^{2} + 1} \in N$ D、函数 $y = \frac{1}{x - 1}$ 在 $[2, 3]$ 上的最小值为 $\frac{1}{2}$

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12、已知 $a = 2^{\frac{2}{3}}, b = 4^{\frac{1}{5}}, c = 3^{\frac{1}{3}}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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13、托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数概念判断：已知集合 $A = \{0, 1, 2\}$ ，集合 $B = \{- 1, 1, 3\}$ ，下列表达式能建立从集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数关系的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = 2 x$ D、 $y = 2 x - 1$

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14、命题“所有能被4整除的整数都是偶数”的否定是（）

A、所有不能被4整除的整数都是偶数 B、所有能被4整除的整数都不是偶数 C、存在一个不能被4整除的整数是偶数 D、存在一个能被4整除的整数不是偶数

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15、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + a_{n} = 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 之间插入1个数 $x_{11}$ ，使 $a_{1}, x_{11}, a_{2}$ 成等差数列；在 $a_{2}$ 和 $a_{3}$ 之间插入2个数 $x_{21}, x_{22}$ ，使 $a_{2}, x_{21}, x_{21}, a_{3}$ 成等差数列；依次类推，在 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数 $x_{n 1}, x_{n 2}, \dots, x_{n n}$ ，使 $a_{n}, x_{n 1}, x_{n 2}, \dots, x_{n n}, a_{n + 1}$ 成等差数列.
（i）若 $T_{n} = x_{11} + x_{21} + x_{22} + \dots + x_{n 1} + x_{n 2} + \dots + x_{n n}$ ，求 $T_{n}$ ；
（ii）对于（i）中的 $T_{n}$ ，是否存在正整数 $m, n, p (n < p)$ ，使得 $T_{m} = a_{n} + a_{p}$ 成立？若存在，求出所有的正整数对 $(m, n, p)$ ；若不存在，说明理由.

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16、已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x^{2} - 1, a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、设 $g (x) = ln x - e^{x} - x^{2} + x$ ，若 $f (x) \geq g (x)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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17、已知抛物线 $x^{2} = 8 y$ 的焦点为 $F$ ，其准线与 $y$ 轴相交于点 $M$ .动点 $P$ 满足直线 $P F, P M$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，记点 $P$ 的轨迹为 $Γ$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、过点 $A (0, 1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $B$ ，与 $Γ$ 相交于 $C, D$ 两点，若 $\vec{B C} = \vec{D A}$ .求 $k$ 的值.

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = P D = \sqrt{2}$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D, E$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $P B E$ 与平面 $P A B$ 夹角的余弦值.

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19、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $b cos C + c cos B = 2 a cos A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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20、小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，则小明通过测试的概率为.

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$x$	10	15	20	25	30
$g (x)$	50	55	60	55	50