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相关试卷

1、若 $p : x < 0$ ，则 $p$ 的一个充分不必要条件为（）

A、 $x > - 1$ B、 $x < 1$ C、 $- 1 < x < 1$ D、 $x < - 1$

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2、若 $z \cdot (2 + i) = 3 - i^{2024}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $- \frac{2}{5}$ D、 $- \frac{2}{5} i$

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3、已知集合 $A = \{- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |\frac{x - 2}{x + 2} \leq 0\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{- 3, 3\}$ D、 $\{- 3, - 2, 3\}$

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4、“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的.如图是抽象的城市路网，其中线段 $|A B|$ 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用 $d (A, B)$ 表示，称“曼哈顿距离”，也叫“折线距离”，即 $d (A, B) = |A C| + |C B|$ ，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，则 $d (A, B) = |x_{2} - x_{1}| + |y_{2} - y_{1}|$ .

(1)、①点 $S (3, 7)$ ， $T (2, - 1)$ ，求 $d (S, T)$ 的值；
②写出到定点 $G (1, 1)$ 的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程，

(2)、已知点 $N (1, 0)$ ，直线 $l$ ： $2 x - y + 2 = 0$ ，求点 $N$ 到直线 $l$ 的“曼哈顿距离”最小值；

(3)、我们把到两定点 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0) (c > 0)$ 的“曼哈顿距离”之和为常数 $2 a (a > c)$ 的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”.
（i）求“曼哈顿椭圆”的方程；
（ii）根据“曼哈顿椭圆”的方程，研究“曼哈顿椭圆”性质中的范围、对称性，并说明理由.

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5、公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中 $A (- 3, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，且 $|P A| = 3 |P B|$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、过 $C (3, 2)$ 作（1）的切线，求切线方程；

(3)、若点 $P (x, y)$ 在（1）的轨迹上运动，另有定点 $D (5, 1)$ ，求 $P D$ 的取值范围.

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6、已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $M (3, 1)$ 在E上，且 $|M F_{1}| + |M F_{2}| = 4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求E的标准方程；

(2)、若直线l与E交于A，B两点，且AB中点为 $P (- 2, 1)$ ，求直线l的方程．

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7、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $|A C| = |B C| = |C C_{1}| = 2$ ．

(1)、求证： $A B_{1} ⊥ B C_{1}$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $A B_{1} C_{1}$ 的距离．

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8、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} : {(x - a)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 16 (a > 0)$ 有 $3$ 条公切线，则实数 $a$ 的取值是.

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9、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 0, 2), \vec{b} = (- 2, 1, 3)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ .

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10、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为棱 $B B_{1}$ 的中点，Q为正方形 $B B_{1} C_{1} C$ 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )

A、若 $D_{1} Q ∥$ 平面 $A_{1} P D$ ，则动点Q的轨迹是一条线段 B、存在Q点，使得 $D_{1} Q ⊥$ 平面 $A_{1} P D$ C、当且仅当Q点落在棱 $C C_{1}$ 上某点处时，三棱锥 $Q - A_{1} P D$ 的体积最大 D、若 $D_{1} Q = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，那么Q点的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4} π$

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11、关于椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，下列结论正确的是（）

A、长轴长为4 B、短轴长为1 C、焦距为 $2 \sqrt{2}$ D、离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12、已知点 $P$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上任意一点，直线 $l$ 过 $⊙ M : x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的圆心且与 $⊙ M$ 交于 $A, B$ 两点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是（）

A、 $[3, 35]$ B、 $[2, 34]$ C、 $[2, 36]$ D、 $[4, 36]$

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13、已知方程 $\frac{x^{2}}{k + 5} + \frac{y^{2}}{3 - k} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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14、直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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15、若两平行直线 $l_{1} : a x + 8 y = 0$ 与 $l_{2} : 3 x + 4 y + b = 0$ 之间的距离是 $1$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- 4$ 或11 B、 $- 4$ 或16 C、1或11 D、1或16

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16、某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用 $R L H F$ （人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%．

(1)、在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望；

(2)、设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值．

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17、已知锐角 $△ A B C$ ，角 $A, B, C$ 的对边分别 $a, b, c$ ，且 $a cos C + c cos A = 2 b cos B$ ，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, 2)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ C、 $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 2 \sqrt{3})$

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18、已知直线 $l_{1} : m x - 4 y + 2 = 0 (m \in R)$ 与 $l_{2} : x - m y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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19、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = 2$ ，四边形 $A B C D$ 是直角梯形，且 $A B ⊥ A D$ ， $B C ∥ A D$ ， $A D = A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $M$ 为 $P C$ 中点， $E$ 在线段 $B C$ 上，且 $B E = 1$ ．

(1)、求证： $D M ∥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P D E$ 所成角的正弦值．

(3)、求点 $C$ 到平面 $P D E$ 的距离．

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20、 $2024$ 年 $10$ 月 $27$ 日，成都市举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.当时成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.随机抽取了 $100$ 名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并估计这 $100$ 名候选者面试成绩的平均数；

(2)、若从以上各组中用分层随机抽样的方法选取 $20$ 人，担任了本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 $62$ 和 $40$ ，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 $80$ 和 $50$ ，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.
（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为： $m$ ， $\bar{x_{1}}$ ， $s_{1}^{2}$ ； $n$ ， $\bar{x_{2}}$ ， $s_{2}^{2}$ ，记两组数据总体的样本平均数为 $\bar{w}$ .则总体样本方差 $s^{2} = \frac{m}{m + n} [s_{1}^{2} + {(\bar{x_{1}} - \bar{w})}^{2}] + \frac{n}{m + n} [s_{2}^{2} + {(\bar{x_{2}} - \bar{w})}^{2}])$ .

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