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相关试卷

1、2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示.

(1)、求a值和该样本的第75百分位数；

(2)、试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；

(3)、该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ 各一人的概率.

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a \sin A + c \sin C - b \sin B = a \sin C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $3 a = 2 b$ .
（i）求 $\cos A$ 的值；
（ii）求 $\sin (2 A + B)$ 的值.

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3、已知空间三点 $A (2, - 5, 1)$ ， $B (2, - 2, 4)$ ， $C (1, - 4, 1)$ ．

(1)、求向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角；

(2)、若 $(\vec{A B} - k \vec{A C}) ⊥ (\vec{A B} + k \vec{A C})$ ，求实数 $k$ 的值．

(3)、求 $△ A B C$ 的面积.

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4、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $A A_{1}$ 的中点，以D为原点， $D A, D C, D D_{1}$ 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点 $B_{1}$ 到直线 $C E$ 的距离为；点D到平面 $C D_{1} E$ 的距离为．

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5、与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有相同的焦点，且过点 $(- 3, 2)$ 的椭圆方程为．

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6、函数 $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}} + \frac{1}{x - 1}$ 的定义域为.

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7、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 C、该图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度可得 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象 D、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递增

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8、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l : m x + y - 3 m - 1 = 0$ .则以下几个结论正确的有（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(3,1)$ B、圆 $C$ 被 $y$ 轴截得的弦长为 $4 \sqrt{6}$ C、点 $C$ 到直线 $l$ 的距离的最大值是 $2 \sqrt{5}$ D、直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最短时，直线 $l$ 的方程为 $2 x - y - 5 = 0$

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9、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y + 9 = 0$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 15 = 0$ ，则下列选项错误的是（）

A、两圆的圆心距离是 $2 \sqrt{2}$ B、两圆有 $2$ 条公切线 C、两圆相交 D、公共弦长 $\frac{\sqrt{14}}{2}$

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10、若正实数 $x, y$ 满足 $2 x + y = 1$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $x y$ 有最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 有最小值为 $6 + 4 \sqrt{2}$ C、 $4 x^{2} + y^{2}$ 有最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $x (y + 1)$ 有最大值为 $\frac{1}{2}$

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $A$ ，点 $P (- 2, - 2), Q$ 是 $C$ 上一点，则 $|P Q| - |Q F|$ 的最小值为（）

A、 $2 - \sqrt{2}$ B、 $4 - 2 \sqrt{2}$ C、 $2 - 4 \sqrt{2}$ D、 $2 - 2 \sqrt{2}$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} {log}_{2} x, x > 0 \\ 3^{x}, x \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $f [f (\frac{1}{4})]$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- 2$ D、2

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13、已知直线 $l_{1} : x + 2 a y - 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : (3 a - 1) x - a y - 1 = 0$ ，则“ $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ ”是“ $a = \frac{1}{6}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、若复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = 4 - 3 i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、1 D、 $- 1$

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15、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | - 2 \leq x \leq 3\}$ ， $B = \{x | x < - 1$ 或 $x > 4\}$ ，则 $A \cap ∁_{U} B =$ （）

A、 $\{x | - 2 \leq x < 4\}$ B、 $\{x | x \leq 3$ 或 $x \geq 4\}$ C、 $\{x | - 2 \leq x < - 1\}$ D、 $\{x | - 1 \leq x \leq 3\}$

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16、若函数 $f (x) = 2^{2 x} + 2^{- 2 x} - 4 (2^{x} + 2^{- x}) + m$ 有且只有一个零点，则实数 $m$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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17、已知集合 $A = \{x |1 < 2^{x} < 8\}$ ， $B = \{x |(x + 1) (x - 2) < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(- 1, 8)$

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18、定义若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a^{2} > b^{2} > 0$ ）的两个焦点和两个顶点四点共圆，则称该椭圆为“完美曲线”．已知 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a^{2} > b^{2} > 0$ ）为“完美曲线”，且 $Γ$ 和 $l_{1}$ ： $x + \sqrt{6} y = 4$ ， $l_{2}$ ： $x - \sqrt{6} y = 4$ 均相切．

(1)、求 $Γ$ 的表达式和离心率

(2)、已知动点 $P$ 在 $Γ$ 的第一象限上运动， $l_{P}$ 和 $P$ 相切，和 $l_{1}$ 交于 $C$ ，和 $l_{2}$ 交于 $D$ ．设 $Γ$ 右焦点为 $F_{1}$ ，证明 $∠ C F_{1} D$ 是定值，并求其正切值．

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19、设 $f (x) = e^{x^{3} - x} - a x$

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间．

(2)、讨论 $f (x)$ 的零点数量．

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20、某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表
月份
1月
2月
3月
小型汽车数量 $x$ （辆）
30
60
80
创造的收益 $y$ （元）
4800
6000
4800

(1)、根据上表数据，从下列三个函数模型中：① $y = a x + b$ ， ② $y = a x^{2} + b x + c$ ， ③ $y = a^{x} + b$ 选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量 $x$ （辆）与创造的收益 $y$ （元）之间的关系，并写出这个函数关系式；

(2)、利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？

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月份	1月	2月	3月
小型汽车数量 $x$ （辆）	30	60	80
创造的收益 $y$ （元）	4800	6000	4800