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相关试卷

1、若直线 $(a + 2) x - y + 1 = 0$ 和直线 $a x - y - 1 = 0$ 垂直，则 $a$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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2、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，若 $a_{1} = - 2, a_{4} = 128$ ，则公比 $q$ 为（）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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3、若一条直线的斜率等于 $\sqrt{3}$ ，则该直线的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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4、“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：在纸上画一个圆A，并在圆外取一定点B；
步骤2：把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合；
步骤.3：把纸片展开，并得到一条折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.
你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A，并在圆外取一定点B， $A B = 4$ ，按照上述方法折纸，点B折叠后与圆A上的点W重合，折痕与直线 $W A$ 交于点E，E的轨迹为曲线T.

(1)、以 $A B$ 所在直线为x轴建立适当的坐标系，求曲线T的方程；

(2)、设曲线T的左、右顶点分别为E，H，点P在曲线T上，过点P作曲线T的切线l与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 交于M，N两点（点M在点N的左侧），记 $E M$ ， $H N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值；

(3)、F是T的右焦点，若直线n过点F，与曲线T交于C，D两点，是否存在x轴上的点 $Q (t, 0)$ ，使得直线n绕点F无论怎么转动，都有 $\vec{Q C} \cdot \vec{Q D} = 0$ 成立?若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.

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5、电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占 $\frac{3}{5}$ ，得到以下的2－2列联表：
偏好石墨烯电池电动车
偏好铅酸电池电动车
合计
男性市民
200
100
女性市民
合计
500

(1)、根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关；

(2)、采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率；

(3)、用频率估计概率，在所有参加调查的市民中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取5名市民，再从这5名市民中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的市民中来自偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$α$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{a}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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6、如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $C D = 2 A B = 2 A D = 4$ ，点E是 $C D$ 的中点，将 $△ C B E$ 沿 $B E$ 对折至 $△ P B E$ ，使得 $P A = 4$ ，点F是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P A ⊥ E F$ ；

(2)、求二面角 $A - B F - E$ 的正弦值.

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7、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - \ln x$ .

(1)、证明： $f (x) \geq 1$ ；

(2)、设函数 $F (x) = f (x) - a x (a > 0)$ ，证明：函数 $F (x)$ 有唯一的极值点.

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8、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{\sin A - \sin B}{b + c} = \frac{\sin C}{a + b}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $\vec{B D} = 4 \vec{C D}$ ， $A C = \sqrt{3}$ ， $S_{△ A D C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $B C$ .

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9、将2个“0”、2个“1”和2个“2”这6个数，按从左到右的顺序排成一排，则能构成个自然数，在所有构成的自然数中，第一位数为1的所有自然数之和为.

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10、已知数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式为 $b_{n} = (2 n - 1) \cos n π$ ，则 $\sum_{n = 1}^{2025} b_{n} =$ .

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11、曲线 $f (x) = \ln (2 x - 1)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为.

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12、已知抛物线 $C_{1} : y ^{2} = p x (p > 0)$ 和 $C_{2} : y ^{2} = 2 p x$ 的焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，动直线 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 两点，与 $C_{2}$ 交于 $P (x_{3}, y_{3}), Q (x_{4}, y_{4})$ 两点，其中 $y_{1}, y_{3} > 0 ， y_{2}, y_{4} < 0$ ，且当 $l$ 过点 $F_{2}$ 时， $y_{3} y_{4} = - 4$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $C_{1}$ 的方程为 $y ^{2} = 4 x$ B、已知点 $A (2, \frac{3}{2})$ ，则 $|M A| + |M F_{1}|$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{1}{y_{1}} + \frac{1}{y_{2}} = \frac{1}{y_{3}} + \frac{1}{y_{4}}$ D、若 $\frac{|M P|}{|N Q|} = 2$ ，则 $△ M F_{1} F_{2}$ 与 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的面积相等

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13、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A A_{1}$ ， $B C ⊥ A B$ ， E，F，G，H分别为 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $A B_{1} ⊥ E G$ B、 $E G$ ， $F H$ ， $A A_{1}$ 三线不共点 C、 $A B$ 与平面 $E F H G$ 所成角为 $45 °$ D、设 $B C = 2$ ，则多面体 $E G B_{1} F H C_{1}$ 的体积为1

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14、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ，已知 $S_{10} < 0$ ， $a_{6} > 0$ .则（）

A、 $a_{5} > 0$ B、 $d > 0$ C、 $S_{n} > 0$ 时， $n$ 的最小值为 $11$ D、 $S_{n}$ 最小时， $n = 6$

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15、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{|x|}$ ，若方程 $[f (x) - e] [f (x) + e + a] = 0$ 恰有5个不同的解，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - e)$ B、 $(- \infty, - 2 e)$ C、 $(- \infty, - \frac{2}{e})$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{e})$

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16、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过坐标原点的直线与C交于A，B两点， $F_{2} A = 2 F_{1} A$ ， $△ A B F_{2}$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$ ，且 $∠ A F_{2} B$ 为钝角， $|A F_{2}| - |A F_{1}| = 4$ ，则双曲线C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

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17、已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ)$ ，其中 $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ，若图象上的点 $(- \frac{π}{10}, 0)$ 与之相邻的一条对称轴为直线 $x = \frac{2}{5} π$ ，则 $φ$ 的值是（）

A、 $\frac{π}{5}$ B、 $\frac{2 π}{5}$ C、 $\frac{3 π}{5}$ D、 $\frac{4 π}{5}$

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18、已知函数 $f (x) = 3^{x} - 3^{- x}$ ，则 $f (x^{2} - 2) + f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$

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19、已知正四棱锥的顶点都在球上，且棱锥的高和球的半径均为 $\sqrt{3}$ ，则正四棱锥的体积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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20、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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	偏好石墨烯电池电动车	偏好铅酸电池电动车	合计
男性市民	200	100
女性市民
合计			500

$α$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{a}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828