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相关试卷

1、已知函数 $y = f (x)$ 是定义在区间 $[a, b]$ 上的连续函数，若 $\exists k \in (0, + \infty)$ ，使得 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [a, b]$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq k |x_{1} - x_{2}|$ ，则称函数 $y = f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的 “ $k$ 类函数”．下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x) = x^{2} - x$ 是区间 $[- 1, 2]$ 上的 “ 3 类函数” B、函数 $f (x) = sin x - x cos x$ 是区间 $[1, \frac{π}{2}]$ 上的 “ 2 类函数” C、若函数 $y = f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的 “ $k$ 类函数”，则方程 $f (x) = (k + 1) x$ 在区间 $[a, b]$ 上至多只有一个解 D、若函数 $f (x)$ 是区间 $[0, 1]$ 上的 “ 2 类函数”，且 $f (0) = f (1)$ ，则存在满足条件的函数 $f (x) ， \exists x_{1} ， x_{2} \in [0, 1]$ ，使得 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 2$

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2、已知向量 $|\vec{a}| = 2 \sqrt{2}, \vec{b} = (1, - 1), |\vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(2, - 2)$ D、 $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

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3、已知 $a$ 是第二象限角， $\sin a = \frac{5}{13}, 则 cos a =$

A、 $- \frac{12}{13}$ B、 $- \frac{5}{13}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{12}{13}$

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4、若指数函数 $f (x) = {(2 a - 1)}^{x}$ 在 $R$ 上是严格增函数，则实数 $a$ 的取值范围是．

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5、如图， $△ O A B$ 是以 $O A$ 为斜边的等腰直角三角形，且 $O A = 4$ . 动直线 $x = t$ 与 $△ O A B$ 的边共有两个公共点，即 $0 < t < 4$ ，在 $△ O A B$ 内且位于直线 $x = t$ 右侧的区域面积为 $f (t)$ .

(1)、求 $f (t)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x + 2) - 2$ ，证明： $g (x)$ 是奇函数.

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6、设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素 $x, y, z \in A$ ，使得 $x - y = y - z$ ，则称A为“等差集”.

(1)、若集合 $A = \{2, 3, 4, 6\}, B \subseteq A$ ，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；

(2)、若集合 $A = \{5 - m^{2}, 1 + m, 2 m^{2} - 3\}$ 是“等差集”，求m的值；

(3)、已知正整数 $n \geq 3$ ，证明： $\{x, x^{2}, x^{3}, \dots, x^{n}\}$ 不是“等差集”.

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7、已知奇函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{b x + a} + x$ 经过 $(- 1, - 3)$ 点.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 1)$ 上的单调性并用定义进行证明；

(3)、若存在 $x_{1}, x_{2} \in [1, 3]$ ，使得不等式 $f (x_{1}) \leq x_{2}^{2} - 2 m x_{2} + m^{2} - 6$ 成立，求实数m的取值范围.

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x - a, x < 0 \\ 2^{x} - x + a, x \geq 0 \end{array}$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 过点 $P (1, 4)$ ，求 $f (- 1)$ ；

(2)、若 $g (x) = f (x) + x$ ，当 $x \in R$ 时，函数 $g (x)$ 单调递增，求a的取值范围；

(3)、当 $x \in [- 2, 2]$ 时，若函数 $f (x)$ 图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，求a的范围.

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9、（1）已知 $f (x)$ 是一次函数，且满足 $2 f (x + 2) - f (x) = x + 7$ ，求 $f (x)$ ；
（2）已知 $f (x) + 2 f (- x) = x^{2} + 3 x + 1$ ，求 $f (4)$ ；
（3）已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2}, x \leq 1 \\ 2 x - 1, x > 1 \end{matrix}, g (x) = \{\begin{matrix} \sqrt{x}, x \geq 0 \\ \frac{1}{x}, x < 0 \end{matrix}$ ，求 $f (g (x))$ ；

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10、已知集合 $U = [0, + \infty), A = \{x |- 2 < x < 3\}, B = \{x |a - 1 < x < 2 a\}$ .

(1)、若 $a = 3$ ，求 $A \cup B$ ， $∁_{U} B$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求 $a$ 的取值范围.

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11、数学学习过程中，要时刻记得这些注意点：遇到集合注意空集，遇到函数注意定义域，遇到含参方程要找定点，遇到向量要注意零向量，函数 $f (x) = a^{x - 2023} + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象必过定点.

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12、2024年10月21日，第52个梅森素数 $M_{52} = 2^{136279841} - 1$ 被发现，这也是迄今为止发现的最大素数.集合 $A$ 以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有个.

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13、已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x + 3}{x + 4} + \frac{x + 5}{x + 6} + \frac{x + 7}{x + 8}$ ， $f (- 5 + \sqrt{2024}) + f (- 5 - \sqrt{2024}) > m^{2} - 7 m$ 恒成立，则 $m$ 的取值可以为（）

A、 $- 1$ B、2 C、5 D、8

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14、已知函数 $f (x) = x^{a}$ 图象经过点 $(9, 3)$ ，则下列命题正确的有（）

A、函数为增函数 B、函数为偶函数 C、若 $x > 1$ ，则 $f (x) > 1$ D、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} < f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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15、已知实数a，b，c满足 $a < b < c$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{c - a} < \frac{1}{b - a}$ B、 $\frac{b}{a} > \frac{b + c}{a + c}$ C、 $\frac{1}{a (b - a)} > \frac{1}{b (c - a)}$ D、 $a b + c^{2} > a c + b c$

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16、已知定义在 $R$ 上函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① $\forall x \in R, f (- x) = f (x)$ ；② $\forall x_{1}, x_{2} \in (- \infty, 0)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ；③ $f (2) = 0$ .则下列选项不成立的是（）

A、 $f (1) < f (- 2)$ B、若 $f (m^{2} - 3) < f (1)$ ，则 $m \in (- 2, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, 2)$ C、若 $\frac{f (x - 1)}{x} > 0$ ，则 $x \in (3, + \infty)$ D、 $\forall x \in R, \exists M \in R$ ，使得 $f (x) \geq M$

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17、某食品的保鲜时间 $y$ （单位：小时）与储藏温度 $x$ （单位：℃）满足函数关系 $y = e^{k x + b}$ （ $e = 2.718$ …为自然对数的底数， $k$ ， $b$ 为常数）.若该食品在30℃的保鲜时间是18小时，在20℃的保鲜时间是36小时，则该食品在0℃的保鲜时间是（）

A、54小时 B、72小时 C、108小时 D、144小时

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18、已知函数 $f (x) = x^{2} - \frac{a}{2} x + 1, x \in [- 1, a]$ ，且 $f (x)$ 的最大值为 $f (a)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1] \cup [2, + \infty)$

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19、函数 $f (x) = \frac{4 x}{1 + x^{4}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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20、下列函数中，在 $R$ 上是增函数的是（）

A、 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ B、 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}}$ C、 $f (x) = - x^{\frac{1}{2}}$ D、 $f (x) = x - \frac{1}{x}$

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