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相关试卷

1、已知数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数，且满足 $a_{n} (a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots a_{n}) = 4$ ，下列正确的有（）

A、 $a_{1} = 2$ B、 $a_{2} < 2$ C、 ${a_{n}}$ 为等比数列 D、 ${a_{n}}$ 为递减数列

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2、已知方程： $(m - 1) x^{2} + (5 - m) y^{2} = (m - 1) (5 - m) ($ 其中m为参数 $)$ ，下列正确的有（）

A、若 $m = 1$ ，则方程表示y轴 B、若 $m = 3$ ，则方程表示圆 C、若 $m < 1$ ，则方程表示椭圆 D、若 $m > 5$ ，则方程表示双曲线

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3、“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛 $($ 俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球， $\dots)$ ，现有1600个相同的小球，则可摆“三角形垛”的最多层数为（）（参考公式： $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ )

A、21 B、20 C、19 D、18

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4、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = a^{2} (a > 0)$ 与曲线 $C_{2} : x^{2} + y^{2} = 2 | x | + 2 | y |$ 恰有4个公共点，则 $a =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2或 $2 + \sqrt{2}$ D、2或 $2 \sqrt{2}$

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5、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $O$ 为 $A B C D$ 的中心，侧棱 $A A_{1} = 2$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ，则 $A_{1} O$ 与 $A C$ 所成角为（）

A、 $90 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $30 °$

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6、一条光线从点 $P (0, 4)$ 射出，经 $x$ 轴反射后，与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 = 0$ 相切于点 $M$ ，则光线从 $P$ 到 $M$ 经过的路程为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{11}$

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7、已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

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8、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ 、 $\vec{a} - \vec{b}$ 、 $\vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{c}$ 、 $\vec{b} + 2 \vec{a}$ 、 $\vec{b} - 2 \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \vec{b}$ 、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ 、 $\vec{c}$ D、 $\vec{b} + \vec{c}$ 、 $\vec{c}$ 、 $\vec{b} - \vec{c}$

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9、已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{7} = 8$ ，则 $S_{13} =$ （）

A、52 B、104 C、208 D、416

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10、两条平行直线 $\sqrt{3} x - y - 1 = 0$ 与 $\sqrt{3} x - y + 3 = 0$ 间的距离为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、1

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11、若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + (a + 1) x^{2} + a x$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 是偶函数，则 $f (x)$ 在点 $(3, f (3))$ 处的切线方程为.

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12、如图，某地一天中6~14时的温度变化曲线近似满足 $y = A \sin (ω t + φ) + b$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）.

(1)、求出这段曲线的函数解析式；

(2)、某行业在该地经营，当温度在区间 $[\begin{matrix} 20 - 5 \sqrt{2}, 20 + 5 \sqrt{2} \end{matrix}]$ 之间时为最佳营业时间，那么该行业在6~14时，最佳营业时间有多少小时？

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13、如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为6cm，高为20cm，圆锥母线为10cm．

(1)、计算该模型的体积.

(2)、现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？

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14、已知函数 $f (x) = \sin ω x + \sqrt{3} \cos ω x (0 < ω < 4)$ ，且函数图象过点 $(\frac{π}{6}, 1)$ ，则函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上的最小值为.

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15、欧拉公式 $e^{x i} = \cos x + i \sin x$ 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（）

A、 $e^{2 i}$ 对应的点位于第二象限 B、 $e^{πi}$ 为纯虚数 C、 $\frac{e^{x i}}{\sqrt{3} + i}$ 的模长等于 $\frac{1}{2}$ D、 $e^{\frac{π}{3} i}$ 的共轭复数为 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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16、 $A, B, C$ 表示不同的点， $n, l$ 表示不同的直线， $α, β$ 表示不同的平面，下列说法错误的是（）

A、若 $A, B \in l, A, B \notin α$ ，则 $l / / α$ B、若 $α \cap β = l, n / / α, n / / β$ ，则 $n / / l$ C、若 $A, B \in α, A, B, C \in β, α \cap β = l$ ，则 $C \in l$ D、若 $α / / β, l \subset α, n \subset β$ ，则 $l / / n$

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17、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别为 $B B_{1}, D C$ 的中点，则异面直线 $M N$ 和 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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18、已知平行四边形ABCD中， $A B = 4, A D = 2, \vec{A B} \cdot \vec{A D} = 4$ ，点P在线段CD上（不包含端点），则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 8)$ B、 $(0, 8)$ C、 $[1, 10)$ D、 $(0, 10)$

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19、在下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (\begin{matrix} 0, 0 \end{matrix})$ ， $\vec{e_{2}} = (\begin{matrix} 1, - 2 \end{matrix})$ B、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5, 7)$ C、 $\vec{e_{1}} = (\begin{matrix} 3, 5 \end{matrix})$ ， $\vec{e_{2}} = (\begin{matrix} 6, 10 \end{matrix})$ D、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$

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20、已知集合 $A = \{1, 2, \dots, n - 1\}$ ，集合 $B_{m} = {x | \frac{x^{2} - m}{n} \in Z, x 、 m \in A}$ ， $| B_{m} |$ 表示集合 $B_{m}$ 元素的个数.

(1)、若 $n = 5$ ，求 $B_{1}$ ， $B_{2};$

(2)、若 $n = 97.$
①求 $|B_{m}|$ 的最大值；
②证明： $|B_{1} |+| B_{2} |+ \dots +| B_{n - 1}| \geq 96.$

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