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相关试卷

1、如图所示，半圆的直径 $A B = 4$ ， $O$ 为圆心， $C$ 是半圆上不同于 $A, B$ 的任意一点，若 $P$ 为半径 $O C$ 上的动点，则 $(\vec{P A} + \vec{P B}) \cdot \vec{P C}$ 的最小值是（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、0 D、2

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2、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $∠ A = 60 °$ ， $\vec{D M} = 3 \vec{M C}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{B M} =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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3、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} + \vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{B C}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\vec{A B}$ D、 $\vec{D C}$

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4、以下说法中正确的是（）

A、两个具有公共起点的向量，一定是共线向量 B、两个向量不能比较大小，它们的模也不能比较大小 C、单位向量都是共线向量 D、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B A}$ 的长度相等

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5、已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，且 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 2$ ， $< \vec{a}, \vec{b} > = 60^{\circ}$ 求：

(1)、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值

(2)、 $|\vec{2 a} + \vec{b}|$ 的值

(3)、 $2 \vec{a} + \vec{b} 与 \vec{b}$ 的夹角 $θ$ 的余弦值.

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D = \frac{1}{3} A B$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

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7、悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数 $ch (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 的图象.现定义双曲正弦函数 $sh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，回答以下问题：

(1)、类比三角函数的导数关系： $(sin x)^{'} = cos x$ ， $(cos x)^{'} = - sin x$ ，写出 $sh (x)$ 与 $ch (x)$ 的导数关系式，并证明 $ch (x + y) = ch (x) ch (y) + sh (x) sh (y)$ ；

(2)、对任意 $x > 0$ ，恒有 $sh (x) > a x$ 成立，求实数a的取值范围；

(3)、求 $f (x) = ch (x) - cos x - x^{2}$ 的最小值．

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8、若 $C_{n}^{13} = C_{n}^{7}$ ，则 $C_{n}^{18} =$ .

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9、 $12$ 名同学合影，站成了前排 $4$ 人后排 $8$ 人，现摄影师要从后排 $8$ 人中抽 $2$ 人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）

A、 $C_{8}^{2} A_{3}^{2}$ B、 $C_{6}^{2} A_{6}^{6}$ C、 $C_{8}^{2} A_{5}^{2}$ D、 $C_{8}^{2} A_{6}^{2}$

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10、已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（）

A、极差为6 B、中位数为90 C、第70%分位数为92 D、平均数为90.25

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11、已知命题 $p : θ$ 为锐角；命题 $q : sin θ > 0$ 且 $cos θ > 0$ ；则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知函数 $f (x) = A \sin (ω \cdot x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（）

A、 $ω = 2$ ， $φ = \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(- \frac{2 π}{3}, 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上单调递增

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l : x - y - 2 = 0$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于M，N两点.

(1)、若 $|M N| = 2 \sqrt{10}$ ，求抛物线C的方程；

(2)、已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和 $Q .$
①求p的取值范围；
②证明：以 $M N$ 为直径的圆过P，Q两点.

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14、如图，在四面体ABCD中， $A D ⊥$ 平面BCD， $∠ B D C = 90^{\circ}$ ， $A D = B D = C D = 4$ ， M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且 $A Q = 3 Q C .$

(1)、证明： $P Q / /$ 平面 $B C D;$

(2)、求平面DPQ与平面MPQ夹角的余弦值.

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15、已知圆C经过点 $A (2, 1)$ ， $B (0, - 1)$ ，并且圆心C在y轴上.

(1)、求圆C的方程；

(2)、记过点B的直线l与圆C的另一个交点为点D，当 $△ A B D$ 的面积为4时，求直线l的方程.

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16、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} a_{3} = 8$ ， $a_{1} + a_{4} = 9.$

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为递增数列， $b_{n} = {log}_{2} a_{n} + 1$ ，求数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 的前n项和 $S_{n} .$

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作倾斜角为 $\frac{5 π}{6}$ 的直线l与C的左、右两支分别交于点M，N，若线段MN的垂直平分线经过点 $F_{1}$ ，则双曲线C的离心率为.

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18、已知两个等差数列2，6，10， $\dots$ ， 118及2，8，14， $\dots$ ， 116，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为.

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19、已知 $\vec{a} = (2, - 1, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, - 2, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则x的值为.

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20、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A A_{1}} (x ， y \in [0 ， 1])$ ，下列正确的有（）

A、当 $x = 1$ 时，DP与AC所成角为 $90^{\circ}$ B、当 $y = 1$ 时，平面ADP与平面BCP所成角的最大值为 $60^{\circ}$ C、当 $x^{2} + y^{2} = 1$ 时，DP与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角为 $45^{\circ}$ D、当 $x + y = 1$ 时，点P到直线 $A C$ 距离的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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