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相关试卷

1、空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，任意直线l由直线上一点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 及直线的一个方向向量 $\vec{u} = (a, b, c)$ 唯一确定，其标准式方程可表示为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} (a b c \neq 0)$ ．若平面 $α$ 以 $\vec{u}$ 为法向量且经过点 $P_{0}$ ，则平面 $α$ 的点法式方程可表示为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，整理成一般式方程为 $a x + b y + c z + d = 0$ ．特殊地，平面xOy的一般式方程为 $z = 0$ ，其法向量为 $(0, 0, 1)$ ．若两个平面相交，则交线的一般式方程可以表示为 $\{\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0, \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0 ． \end{array}$

(1)、若集合 $M = \{(x, y, z) | 0 \leq x \leq 2 ， 0 \leq y \leq 5 ， 0 \leq z \leq 2\}$ ，记集合M中所有点构成的几何体为S，求S的体积；

(2)、已知点 $Q (3, 2, - 2)$ ，直线 $l_{1} ： \frac{x - 4}{3} = \frac{y - 1}{2} = z$ ．若 $Q \in$ 平面 $β$ ， $l_{1} \subset β$ ，求 $β$ 的一般式方程；

(3)、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的顶点 $A_{1} (- 3, 4, 1)$ ，平面ABC的方程为 $2 x + y + z - 6 = 0$ ，直线 $A C_{1}$ 的方程为 $x - 2 = y - 3 = \frac{z - 4}{2}$ ，平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的方程为 $x + y + t z - \frac{9}{5} = 0$ ．求直线 $A A_{1}$ 与直线BC所成角的余弦值．

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2、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上、下焦点， $A (0, - 2 \sqrt{3})$ 是椭圆 $C$ 的一个顶点， $P$ 是椭圆C上的动点， $P$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 三点不共线，当 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积最大时，其为等边三角形．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $M$ 为 $A P$ 的中点， $O$ 为坐标原点，直线 $O M$ 交直线 $y = 4 \sqrt{3}$ 于点 $D$ ，过点 $O$ 作 $O E ∥ A P$ 交直线 $y = 4 \sqrt{3}$ 于点 $E$ ，证明： $∠ O E F_{1} = ∠ O D F_{1}$ ．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为矩形， $P A ⊥$ 平面ABCD， $P A = A D = 2 A B$ ， E为线段PC上一点， $A E ⊥ P D$ ，且该四棱锥的体积为 $\frac{4}{3}$ .

(1)、求AE的长度；

(2)、求二面角 $P - B E - A$ 的正弦值.

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4、已知直线l： $k x - 2 k + y - 1 = 0$ 恒过点C，且以C为圆心的圆与直线 $3 x + 4 y - 20 = 0$ 相切．

(1)、求点C的坐标；

(2)、求圆C的标准方程；

(3)、设过点 $D (2, 0)$ 的直线与圆C交于A，B两点，求 $|A B|$ 的最小值．

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5、已知点 $A (- 3, - 1)$ ， $B (- 2, 2)$ ，点C在x轴上，且 $△ A B C$ 是直角三角形， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ．

(1)、求点C的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求斜边上的中线所在直线的方程．

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6、在正六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 4$ ， M，N分别为 $E E_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，平面CMN与直线 $D D_{1}$ 交于点G，则 $D_{1} G =$ ；点A到平面CMN的距离为．

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7、已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为 $1.53 \times 10^{8} km$ ， $1.47 \times 10^{8} km$ ，则这个椭圆的离心率为．

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8、与圆 $C_{1} ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ， $C_{2} : x^{2} + y^{2} = 1$ 都相切的直线有条．

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9、笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡尔在1638年提出．如图，叶形线 $C : x^{3} + y^{3} = a x y$ 经过点 $A (\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在C上，则下列结论正确的是（）

A、直线 $y = - x$ 与C有3个公共点 B、若点P在第二象限，则 $x_{0} + y_{0} < 0$ C、 $x_{0} + y_{0} > - 1$ D、 $x_{0} + y_{0} \leq 3$

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10、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为6，下列结论正确的是（）

A、该正四面体的高为 $2 \sqrt{6}$ B、该正四面体的高为 $\sqrt{6}$ C、该正四面体两条高的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、该正四面体两条高的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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11、已知空间内三点 $A (3, 2, 0)$ ， $B (2, 1, 3)$ ， $C (0, 2, - 1)$ ，则（）

A、 $|\vec{A B}| = \sqrt{11}$ B、 $A B ⊥ A C$ C、 $\cos ∠ A B C = \frac{\sqrt{11}}{21}$ D、 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{110}}{2}$

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12、如图，正方形 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，G，E分别是 $C C_{1}$ ， $A B$ 的中点， $P$ 是四边形 $C C_{1} D_{1} D$ 内一动点， $\vec{B F} = \frac{3}{4} \vec{B C}$ ，若直线 $A P$ 与平面 $E F G$ 没有公共点，则线段 $A P$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{35}$ B、 $4 \sqrt{7}$ C、 $5 \sqrt{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{35}}{5}$

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13、已知A，B分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点，D为C的上顶点，O为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，直线AE，BE分别与y轴交于点H，G．若D为线段OH的中点，G为线段OD的中点．则点E到x轴的距离为（）

A、 $\frac{b}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} b}{2}$ C、 $\frac{3 b}{5}$ D、 $\frac{4 b}{5}$

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14、如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为 $\frac{15 + 5 \sqrt{5}}{12}$ ，则该正二十面体的内切球的半径为（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{12}$

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15、如图，二面角 $α - l - β$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，点A，B分别在半平面 $α$ ， $β$ 内， $A C ⊥ l$ 于点C， $B D ⊥ l$ 于点D．若 $A C = 5$ ， $B D = 6$ ， $A B = 2 \sqrt{15}$ ．则 $C D =$ （）

A、 $\frac{11}{2}$ B、6 C、 $\sqrt{29}$ D、 $\sqrt{30}$

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16、直线 $l : y = x$ 与圆 $M : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 交于A，B两点，则 $|A B| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $\sqrt{14}$

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17、已知 $α$ ， $β$ 是两个互相平行的平面， $l$ ， $m$ ， $n$ 是不重合的三条直线，且 $l ⊥ α$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则（）

A、 $l ⊥ n$ B、 $m ⊥ n$ C、 $l / / n$ D、 $m // n$

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18、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则可以与向量 $\vec{m} = \vec{a} - 2 \vec{c}$ ， $\vec{n} = \vec{a} + 2 \vec{c}$ 构成空间另一个基底的向量是（）

A、 $\vec{a}$ B、 $\vec{b}$ C、 $\vec{c}$ D、 $\vec{a} - \vec{c}$

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19、已知直线 $x + y + m - 1 = 0$ 与直线 $3 x + (m + 2) y + 3 = 0$ 平行，则 $m =$ （）

A、1 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 1$

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20、如图所示，直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, A D ⊥ A B, A B = B C = 2 A D = 2$ ，四边形 $E D C F$ 为矩形， $C F = \sqrt{3}$ ，平面 $E D C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $D F / /$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求平面 $A B E$ 与平面 $E F B$ 夹角的余弦值；

(3)、在线段 $D F$ 上是否存在点 $P$ ，使得直线 $B P$ 与平面 $A B E$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ ，若存在，求出线段 $B P$ 的长度，若不存在，请说明理由．

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