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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} sin A + cos A = 2$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、证明： $sin B sin C \leq \frac{3}{4}$ .

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2、菱形 $A B C D$ 中， $A B = 6, ∠ B A D = 60^{\circ}, \vec{C E} = 2 \vec{E B}, \vec{C F} = 2 \vec{F D}$ ，点 $M$ 在线段 $E F$ 上，且 $\vec{A M} = x \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ ，则 $x + |\vec{A M}| =$ .

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3、已知函数 $f (x) = 3^{|a x - 1|} (a \neq 0)$ ，则 $f (x)$ 的图象经过定点； $f (x)$ 的值域为.

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4、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 120^{\circ}, B A = 2, B C = 1$ ，则 $A C =$ .

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5、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $4 A = 2 B = C$ ，则（）

A、 $b = 2 a cos A$ B、 $\frac{2}{sin B} = \frac{1}{sin A} - \frac{1}{sin C}$ C、 $a c = b^{2} - a^{2}$ D、 $\frac{b}{a} = \frac{c}{a} - \frac{a}{c}$

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6、设复数 $z$ 满足 $z + 1 = 3 |z| + |z| i$ ，则（）

A、 $|z| = \frac{1}{3}$ B、 $z - \bar{z} = - \frac{2}{3} i$ C、 $z \cdot \bar{z} = \frac{1}{9}$ D、 $\frac{z}{\bar{z}} = - 1 + i$

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7、已知向量 $\vec{a} = (1, p), \vec{b} = (- 1, q)$ ，则（）

A、 $p q = 1$ 是 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 的充要条件 B、 $p q > 1$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角的必要不充分条件 C、 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ 是 $p + q = 0$ 的充要条件 D、 $< \vec{a}, \vec{b} > = \frac{π}{3}$ 是 ${(p + q)}^{2} = 3 {(p q - 1)}^{2}$ 的充要条件

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8、如图，四边形 $A B C D$ 的斜二测画法的直观图为直角梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，其中 $A^{'} B^{'} ∥ D^{'} C^{'}$ ， $∠ B^{'} C^{'} D^{'} = \frac{π}{2}$ ， $B^{'} D^{'} = \sqrt{5}$ ， $cos ∠ A^{'} D^{'} B^{'} = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ 则四边形 $A B C D$ 的周长为（）

A、 $5 + 4 \sqrt{3}$ B、 $8 + 2 \sqrt{3}$ C、 $8 + 2 \sqrt{2}$ D、 $5 + 4 \sqrt{2}$

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9、已知平面上四个点 $A (- 1, 2)$ ， $B (1, 1)$ ， $C (2, 1)$ ， $D (3, 4)$ ，则向量 $\vec{A B}$ 在向量 $\vec{C D}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{1}{10}, - \frac{3}{10})$ B、 $(\frac{1}{10}, - \frac{3}{10})$ C、 $(- \frac{\sqrt{10}}{10}, - \frac{3 \sqrt{10}}{10})$ D、 $(- \frac{2}{5}, \frac{1}{5})$

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10、已知 $z = 1 + 2 i$ 是实系数一元二次方程 $m x^{2} + n x + 1 = 0$ 的一个复数根，则 $3 m + n =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{2}{5}$

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11、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A M} = 4 \vec{M C}$ ，记 $\vec{B M} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B A} =$ （）

A、 $4 \vec{a} - 3 \vec{b}$ B、 $3 \vec{b} - 4 \vec{a}$ C、 $5 \vec{a} - 4 \vec{b}$ D、 $4 \vec{b} - 5 \vec{a}$

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12、在复平面内， $z = \frac{3 i}{1 - 2 i}$ 所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、设 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $R$ ，若 $A B = 2 R$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定

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14、下列命题中为真命题的是（）

A、圆柱的侧面展开图是一个正方形 B、用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C、有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D、球体是旋转体的一种类型

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15、已知集合 $A = {x ∣ |x - 2| < 2}$ ，则 $A \cap Z =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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16、对于定义在区间 $[m, n]$ 的函数 $f (x)$ ，定义： $G_{f} (x) = min \{f (t) ∣ m \leq t \leq x\} (x \in [m, n])$ ， $H_{f} (x) = max \{f (t) ∣ m \leq t \leq x\} (x \in [m, n])$ ，其中， $min \{f (x) ∣ x \in D\}$ 表示函数 $f (x)$ 在 $D$ 上的最小值， $max \{f (x) ∣ x \in D\}$ 表示函数 $f (x)$ 在 $D$ 上的最大值.

(1)、若 $f (x) = sin x$ ， $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，试写出 $G_{f} (x)$ 、 $H_{f} (x)$ 的表达式；

(2)、设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = - a^{2 x} + (a + 5) \cdot a^{x} + 1$ ， $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，如果 $H_{f} (x)$ 与 $f (x)$ 恰好为同一函数，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在最小正整数 $k$ ，使得 $H_{f} (x) - G_{f} (x) \leq k (x - m)$ 对任意的 $x \in [m, n]$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为 $[m, n]$ 上的“ $k$ 阶收缩函数”，已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ ， $x \in [- 1, 4]$ ，试判断 $f (x)$ 是否为 $[- 1, 4]$ 上的“ $k$ 阶收缩函数”，如果是，求出对应的 $k$ ，如果不是，请说明理由.

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17、三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， $A_{1} C_{1} = 1$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $B C$ ， $B A$ 中点．

(1)、求 $A_{1} N$ 与 $C C_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求平面 $A_{1} M A$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的余弦值；

(3)、求证 $N A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 平行．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2, A C = 4, ∠ B A C = 60 °$ ， M是 $B C$ 的中点，N是 $A C$ 上的点，且 $\vec{A N} = x \vec{A C}, A M, B N$ 相交于点P．设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ .

(1)、若 $x = \frac{1}{3}$ ，试用向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A M}, \vec{P N}$ ；

(2)、若 $A M ⊥ P N$ ，求实数x的值．

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19、已知集合 $A = \{x |\frac{1}{3} \leq 3^{x - 4} \leq 9\}$ ，集合 $B = \{x |{l o g}_{3} (1 + 2 x) > 2\}$ ．

(1)、求 $A \cup B$ ；

(2)、已知 $C = \{x |x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 \leq 0\}$ ，若 $x \in C$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 b cos C = 2 a + \sqrt{2} c$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{13}$ ， $c = 2 \sqrt{2}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，求 $B D$ ．

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