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相关试卷

1、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是边长为6的菱形，且 $∠ B A D = 60 °$ ， $A A_{1} = 4$ ， $E$ 为 $C D$ 中点.

(1)、求证： $B E ⊥$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ ；

(2)、求平面 $A_{1} B E$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的正弦值.

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2、已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标 $(5, 0)$ ，且离心率 $e = \frac{5}{3}$ .

(1)、求双曲线的标准方程和渐近线方程；

(2)、过双曲线右焦点且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线与双曲线交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $|A B|$ .

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3、如图所示的玻璃罩可以看成是由一个圆柱侧面和一个半球球面组合而成，其中球面半径为2分米，圆柱面高为4分米.（忽略玻璃厚度）

(1)、求该玻璃罩外壁的面积；

(2)、若将该玻璃罩倒置后装水，求最多能装多少升水？

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4、三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ，面 $P A B ⊥$ 面 $A B C$ ， $P A = P B = \sqrt{17}$ ，以 $△ A B C$ 的边 $A C$ 所在直线为旋转轴将 $△ A B C$ 旋转，则在旋转过程中， $| P B |$ 的取值范围是.

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5、与双曲线 $x^{2} - 8 y^{2} = 8$ 有共同焦点，且经过点 $(0, 4)$ 的椭圆的标准方程是.

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6、抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上一点 $M$ 与焦点的距离等于6，且 $M$ 在第一象限内，则 $M$ 的坐标是.

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7、已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 两两垂直， $P A = 3$ ， $P B = P C = 4$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的内切球 $O_{1}$ （球心 $O_{1}$ 到各个面距离相等）半径为 $r$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的外接球 $O_{2}$ （球心 $O_{2}$ 到各顶点距离相等）半径为 $R$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的表面积为 $S$ ，体积为 $V$ ，则（）

A、 $S = 20 + 2 \sqrt{34}$ B、 $R = \frac{\sqrt{41}}{2}$ C、 $r = \frac{20 - 2 \sqrt{34}}{11}$ D、 $V = 24$

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8、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $E$ 在线段 $C D_{1}$ 上，则（）

A、当 $E$ 为 $C D_{1}$ 中点时， $A E$ 与 $B B_{1}$ 所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、当 $E$ 为 $C D_{1}$ 中点时， $A E$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ C、三棱锥 $A - E B B_{1}$ 的体积为定值 D、 $A E + B_{1} E$ 的最小值是 $4 \sqrt{6}$

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9、已知焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，左焦点 $F_{1}$ ，右焦点 $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆上且不在 $x$ 轴上的一点，则下列说法正确的是（）

A、 $m$ 的取值范围是 $(0, 4)$ B、当焦距为4时，离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、当离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 4 \sqrt{2}$ D、当长轴长为 $4 \sqrt{2}$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积最大值为4

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10、已知椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $A (2, 0)$ ， $B (1, \frac{3}{2})$ ，过点 $P (2, 1)$ 的直线交椭圆于 $E$ 、 $F$ 两点，过点 $E$ 且平行于 $y$ 轴的直线与线段 $A B$ 交于点 $Q$ ，点 $E$ 关于点 $Q$ 的对称点为 $N$ ，则直线 $N F$ 一定过点（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, 3 - \sqrt{6})$ D、 $(2, 0)$

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11、过点 $(- 2, - 4)$ 的直线与曲线 $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ 有交点，则直线的斜率范围是（）

A、 $[1, 2]$ B、 $[\frac{6 - \sqrt{6}}{4}, \frac{6 + \sqrt{6}}{4}]$ C、 $[1, \frac{6 + \sqrt{6}}{4}]$ D、 $[\frac{6 - \sqrt{6}}{4}, 2]$

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12、已知向量 $\vec{a} = (2, 0, - 3)$ ， $\vec{b} = (3, 1, x)$ ， $\vec{c} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b} - 2 \vec{c}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(1, - 1, 0)$ B、 $(2 \sqrt{2}, 0, - 3 \sqrt{2})$ C、 $(\sqrt{2}, - \sqrt{2}, 0)$ D、 $(\frac{2 \sqrt{2}}{13}, 0, \frac{- 3 \sqrt{2}}{13})$

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13、如图所示，梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是平面图形 $A B C D$ 用斜二测画法得到的直观图， $A^{'} D^{'} = 2$ ， $A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'} = 1$ ，则平面图形 $A B C D$ 的面积为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、3

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14、已知点 $A (1, 0)$ ，点 $B$ 为直线 $x - y + 1 = 0$ 上动点，则 $A$ 、 $B$ 两点间距离的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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15、空间中三条不同的直线 $l$ ， $m$ ， $n$ 和平面 $α$ 满足 $l ⊄ α$ ， $m \subset α$ ， $n \subset α$ ，则下面结论正确的是（）

A、若 $l ∥ α$ ，则 $l ∥ m$ B、若 $l ⊥ m$ 且 $l ⊥ n$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $l ⊥ α$ ，则 $l ⊥ m$ D、若 $l ⊥ n$ 且 $l ⊥ m$ ，则 $m ∥ n$

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16、直线 $y = k x$ 倾斜角为 $135 °$ ，且过点 $P (\sqrt{3}, a)$ ，则 $a =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- 3$ D、3

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17、已知抛物线 $Γ$ ： $y = x^{2}$ .

(1)、若点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线 $Γ$ 上一点，证明：抛物线 $Γ$ 在点 $P$ 处的切线方程为 $\frac{1}{2} (y_{0} + y) = x_{0} x$ ；

(2)、设 $E$ ， $F$ 是抛物线 $Γ$ ： $y = x^{2}$ 上两点，过点 $E$ ， $F$ 分别作 $Γ$ 的切线交于点 $C$ ，点 $A$ ， $B$ 分别在线段 $E C$ ， $C F$ 的延长线上，直线 $A B$ 与抛物线 $Γ$ 相切于点 $G$ .
（i）证明： $\frac{| E C |}{| C A |} = \frac{| C F |}{| F B |} = \frac{| A B |}{| B G |}$ ；
（ii）记 $△ E F G$ ， $△ A B C$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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18、如图，已知四面体 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B D$ ， $B C ⊥ C D$ ， $A D = 2 B C = 2 C D = 4$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ .

(1)、求证： $A B ⊥ C D$ ；

(2)、在线段 $B D$ 上是否存在一点 $E$ ，使得直线 $C E$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，若存在，求出 $\frac{B E}{B D}$ 的值，若不存在，请说明理由；

(3)、在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为 $P_{1}$ ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为 $P_{2}$ ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为 $P_{3}$ .试比较 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 的大小.

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19、已知函数 $f (x) = a e^{x} - ln x + b x$ .

(1)、若 $a = 0$ ， $b = 1$ ，求 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、若 $b = 0$ ，证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) \geq 2 + ln a$ .

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20、记锐角 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a \sin 2 C = \sqrt{3} c \sin A$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $b = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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