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相关试卷

1、已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， ...， $x_{n}$ 的平均数为10，标准差为2，则 $2 x_{1} - 1$ ， $2 x_{2} - 1$ ， ...， $2 x_{n} - 1$ 的平均数和标准差分别为（）

A、19和2 B、19和4 C、19和8 D、19和16

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2、已知点 $M$ 在平面 $A B C$ 内，并且对空间任一点 $O$ ， $\vec{O M} = x \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3、若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\forall n \in N^{*}$ ， $|a_{n} - a_{n + 1}| = n + 1$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{1}$ ．若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} a_{n + 4} + 1 \geq a_{n + 2}^{2}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{2}$ ．

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{1}$ ，且 $a_{1} = 0$ ，请直接写出 $a_{3}$ 的所有可能取值；

(2)、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{2}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，求 $a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$ 的取值范围；

(3)、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 同时具有性质 $P_{1}$ 和性质 $P_{2}$ ， $a_{5} = 3$ ，且 $0$ 不是数列 $\{a_{n}\}$ 的项，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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4、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A_{1} C_{1}$ ， $B C$ 的中点， $G$ 是棱 $C C_{1}$ 上一点，且 $\vec{C_{1} G} = t \vec{G C} (t > 0)$ ．

(1)、证明： $E F$ $/ /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若三棱锥 $C {}_{1}- A B C$ 的体积为1，且二面角 $A - E G - F$ 的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{53}}{53}$ ，求 $t$ 的值．

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5、古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率 $π$ 与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆 $M$ 的中心为坐标原点，焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 均在 $x$ 轴上，面积为 $2 π$ ，点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆 $M$ 上.

(1)、求椭圆 $M$ 的标准方程；

(2)、经过点 $P (- 1, 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $M$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $△ O A B$ 与椭圆 $M$ 的面积比为 $\frac{2}{5 π}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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6、已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装 $x$ 千件并全部销售完，销售收入为 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = \{\begin{array}{l} (10.8 - \frac{1}{30} x^{2}) x, (0 < x \leq 10) \\ 108 - \frac{1000}{3 x}, (x > 10) \end{array}$ （注：年利润 $=$ 年销售收入 $-$ 年总成本）

(1)、写出年利润 $W$ （万元）关于年产量 $x$ （千件）的函数解析式；

(2)、求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.

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7、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $12 b^{2} sin A + 2 a b + \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{\cos C} = 0.$

(1)、求 $\sin A \cos C$

(2)、若 $sin A = \frac{1}{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{6 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{4}$ ，求a的值.

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8、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为双曲线C上一点．若当 $P F_{2}$ 与x轴垂直时，有 $∠ P F_{1} F_{2} = 45 °$ ，则双曲线C的离心率为．

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9、已知平面内两定点 $M (0, - 2)$ 和 $N (0, 2)$ 与一动点 $P (x, y)$ P(x，y)，满足 $|\vec{P M}| \cdot |\vec{P N}| = m (m \geq 4)$ ，若动点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ ，则下列关于曲线E的说法正确的是（）

A、存在 $m$ ，使曲线 $E$ 过坐标原点； B、曲线 $E$ 关于 $y$ 轴对称，但不关于 $x$ 轴对称； C、若 $P, M, N$ 三点不共线，则 $△ P M N$ 周长最小值为 $2 \sqrt{m} + 4$ ； D、曲线 $E$ 上与 $M, N$ 不共线的任意一点 $G$ 关于原点对称的点为 $H$ ，则四边形 $G M H N$ 的面积不大于 $m$ .

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10、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{n}$ 是 $a_{n}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{18} < 0$ ， $S_{19} > 0$ ，则有限项数列 $\frac{S_{1}}{a_{1}}, \frac{S_{2}}{a_{2}}, \cdot \cdot \cdot, \frac{S_{18}}{a_{18}}, \frac{S_{19}}{a_{19}}$ 中，最大项和最小项分别为（）

A、 $\frac{S_{9}}{a_{9}}, \frac{S_{18}}{a_{18}}$ B、 $\frac{S_{9}}{a_{9}}, \frac{S_{10}}{a_{10}}$ C、 $\frac{S_{19}}{a_{19}}, \frac{S_{10}}{a_{10}}$ D、 $\frac{S_{19}}{a_{19}}, \frac{S_{18}}{a_{18}}$

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11、若 $\sin α + cos (π - α) = \frac{3}{4}, α \in (0, π)$ ，则 $sin (a + \frac{π}{4})$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $- \frac{\sqrt{46}}{8}$ C、 $- \frac{7}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{46}}{8}$

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12、已知正方形 $A B C D$ 的边长为1，设点M、N满足 $\overset{⃑}{A M} = λ \overset{⃑}{A B}$ ， $\overset{⃑}{A N} = μ \overset{⃑}{A D}$ .若 $\overset{⃑}{C M} \cdot \overset{⃑}{C N} = 1$ ，则 $λ^{2} + 2 µ^{2}$ 的最小值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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13、已知集合 $A = \{x \in N^{*} ∣ x^{2} - 5 x \leq 0\}, B = {x \in Z ∣ |x - 1| < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

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14、已知点 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，动点 $M$ 满足 $|M F_{1}| + |M F_{2}| = 3 |F_{1} F_{2}|$ ，动点 $M$ 的轨迹为记为 $E$ .

(1)、求轨迹 $E$ 的方程.

(2)、若 $P$ 为 $E$ 上一点，且点 $P$ 到 $x$ 轴的距离 $d \in (0, 1)$ ，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆的半径的取值范围.

(3)、若直线 $l : y = k (x - 1)$ 与 $E$ 交于 $C$ ， $D$ 两点， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为 $E$ 的左、右顶点，设直线 $A_{1} C$ 的斜率为 $k_{1} (k_{1} \neq 0)$ ，直线 $A_{2} D$ 的斜率为 $k_{2} (k_{2} \neq 0)$ ，试问 $\frac{k_{1} k_{2}}{k_{1}^{2} + k_{2}^{2}}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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15、如图所示的几何体中，四边形 $P D C E$ 为矩形，在梯形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = ∠ B A D =$ $\frac{π}{2}$ ， $F$ 为 $P A$ 的中点， $P D = \sqrt{2}$ ， $P A = \sqrt{3}$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D = 1$ ，线段 $P C$ 交 $D E$ 于点 $N$ .

(1)、求证： $A C //$ 平面 $D E F$ ；

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的正弦值；

(3)、在线段 $E F$ 上是否存在一点 $Q$ ，使得 $B Q$ 与平面 $B C P$ 所成角的大小为 $\frac{π}{6}$ ？若存在，求出 $F Q$ 的长；若不存在，请说明理由.

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16、在平面直角坐标系 $x o y$ 中，已知点 $M (- 4, 0)$ ，点 $N (4, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足：直线PM与直线PN的斜率之积是 $- \frac{3}{4}$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与（1）中轨迹 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $Q (2, - 1)$ 为线段 $A B$ 的中点，求直线 $l$ 的方程；

(3)、在（2）的条件下，求弦长 $| A B |$ .

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17、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 是椭圆上的一点，且 $|P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ， $|O P| = \frac{\sqrt{3}}{2} |F_{1} F_{2}|$ ，则椭圆的离心率 $e$ 等于.

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18、已知 $⊙ M : x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ ，直线 $l : x - y - 1 = 0$ ， P为l上的动点.过点P作 $⊙ M$ 的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别为A，B，当四边形 $P A M B$ 的面积最小时，直线AB的方程为.

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19、在四面体 $O - A B C$ 中，空间的一点 $M$ 满足 $\vec{O M} = λ \vec{O A} + 2 \vec{O B} - 4 \vec{O C}$ ．若 $M$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面，则 $λ =$ ．

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20、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $A_{1} P$ 与 $B D$ 所成的角不可能是 $\frac{π}{6}$ B、当 $B_{1} P = 2 P C$ 时，点 $D_{1}$ 到平面 $A_{1} B P$ 的距离为 $\frac{2}{3}$ C、当 $B_{1} P = 2 P C$ 时， $A P = \frac{2 \sqrt{14}}{3}$ D、若 $\vec{B_{1} P} = \frac{1}{3} \vec{B_{1} C}$ ，则二面角 $B - A_{1} P - B_{1}$ 的平面角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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