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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 一共有 $m^{2} (m > 2)$ 项， $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 成公差不为 $0$ 的等差数列，对任意的 $i \in \{1, 2, \dots, m\}, a_{i}, a_{i + m}, \dots, a_{i + (m - 2) m}, a_{i + (m - 1) m}$ 成等差数列，且对于不同的 $i$ ，其公差为同一个非零常数．

(1)、若 $m = 3, a_{1} = 1, a_{4} = 3, a_{9} = 9$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的各项之和；

(2)、证明： $a_{1}, a_{(m + 1) + 1}, a_{2 (m + 1) + 1}, \dots, a_{(m - 1) (m + 1) + 1}$ 成等差数列；

(3)、从 $1, 2, \dots, m^{2}$ 中任取三个数 $p, q, r (p < q < r)$ ，记 $p, q, r$ 成等差数列且 $a_{p}, a_{q}, a_{r}$ 也成等差数列的概率为 $P_{m}$ ，证明： $P_{m} > \frac{3 m - 6}{4 m^{3} - 8 m}$ ．

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2、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P M ⊥$ 底面 $A B C, A B ⊥ A C, A B = 1, A C = \sqrt{2}, M, N$ 分别为 $B C, A C$ 的中点， $E$ 为线段 $P A$ 上一点，平面 $E B N ⊥$ 底面 $A B C$ ．

(1)、若 $P M = 1$ ，求二面角 $A - E N - B$ 的余弦值；

(2)、求 $\frac{P E}{A E}$ ．

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3、已知抛物线 $C : y^{2} = m x (m > 0)$ 的焦点为 $F$ ，以 $F$ 和 $C$ 的准线上的两点为顶点可以构成边长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的等边三角形．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、讨论过点 $(- 2, 1)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的交点个数．

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4、已知函数 $f (x) = e^{x - a} - \frac{ln x}{x} - 1$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) \geq 0$ ．

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5、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且 $\frac{1}{sin C} = \frac{2 cos B}{2 sin A + sin B}$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = b = 2$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的半径．

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6、若关于 $θ$ 的方程 $\frac{sin θ - a cos θ}{cos θ + a sin θ} = - \frac{{cos}^{3} θ}{{sin}^{3} θ}$ 在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 上有且仅有一个实数解，则实数 $a =$ ．

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7、已知正数 $a, b$ 满足 $(2 a + 1) (b + 1) = 4$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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8、小明去超市从4种功能性提神饮料和5种电解质饮料中选3瓶进行购买，若每种饮料至多买一瓶，则功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1瓶的买法种数为．（用数字作答）

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9、已知 $F (1, 0)$ ，圆 $M : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $P$ 为圆 $M$ 上一动点，以 $P F$ 为直径的圆 $N$ 交 $y$ 轴于 $A, B$ 两点，设 $A (x_{A}, y_{A}), B (x_{B}, y_{B}), P (x_{P}, y_{P})$ ，则（）

A、当点 $N$ 在 $y$ 轴上时， $|P F| = \sqrt{5}$ B、 $|M N|$ 的取值范围是 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ C、 $y_{A} y_{B} = x_{P}$ D、 $cos ∠ A F P = \frac{1}{|B F|}$

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10、已知函数 $f (x)$ 不是常函数，且图象是一条连续不断的曲线，记 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、存在 $f (x)$ 和实数 $t$ ，使得 $f^{'} (x) = t f (x)$ B、不存在 $f (x)$ 和实数 $t$ ，满足 $f (x) + f (t) = f (2 x)$ C、存在 $f (x)$ 和实数 $t$ ，满足 $f (x^{t}) = t f (x)$ D、若存在实数 $t$ 满足 $f^{'} (x) = f (x + t)$ ，则 $f (x)$ 只能是指数函数

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11、为了弘扬奥运会中我国射击队员顽强拼搏的奋斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数如下： $9, 8, 6, 10, 9, 7, 6, 9$ （单位：环），则这组样本数据的（）

A、极差为4 B、平均数是8 C、上四分位数是9 D、方差为4

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12、已知 $D$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 右支上一点，过点 $D$ 分别作 $C$ 的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点 $A, B$ ，则 $|D A| \cdot |D B| =$ （）

A、 $2$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{2}$

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13、已知椭圆 $C$ 的离心率为 $\cos 40 °$ ，焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，一个短轴顶点为 $B$ ，则 $∠ F_{1} B F_{2} =$ （）

A、40° B、50° C、80° D、100°

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14、已知底面半径为 $\sqrt{5}$ 的圆锥的侧面展开图是圆心角为平角的扇形，则该圆锥的体积为（）

A、 $2 \sqrt{15} π$ B、 $\frac{10 \sqrt{5}}{3} π$ C、 $\frac{5 \sqrt{15}}{3} π$ D、 $\frac{5 \sqrt{10}}{3} π$

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15、向量 $\vec{a} = (2, - \frac{1}{2})$ 在向量 $\vec{b} = (1, 3)$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(2, - \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{20}, \frac{3}{20})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{20}, \frac{3 \sqrt{2}}{20})$ D、 $(2 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

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16、已知事件 $A, B$ 互斥，且 $P (A) = P (B) = 0.5, M$ 满足 $P (M |A) = 0.8, P (M |B) = 0.7$ ，则 $P (M) =$ （）

A、0.25 B、0.35 C、0.4 D、0.75

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17、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 4 x - 5 \geq 0\}, B = \{y |y = \sqrt{x - 2024}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 5, 1]$ B、 $[1, 2024)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[2024, + \infty)$

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18、已知 $\frac{3}{z} = - 1 - 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- \frac{3}{5} + \frac{6}{5} i$ B、 $- \frac{3}{5} - \frac{6}{5} i$ C、 $\frac{3}{5} - \frac{6}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} + \frac{6}{5} i$

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19、已知函数 $f (x) = a x - 1 - ln x$ ， $a \in R .$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 与函数 $g (x) = e^{x} - a x - 1$ 有相同的最小值，求a的值；

(3)、证明：对于任意正整数n， $(1 + \frac{1}{2!}) (1 + \frac{2}{3!}) \dots \dots (1 + \frac{n}{(n + 1)!}) < e$ （ $e$ 为自然对数的底数 $) .$

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20、某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮游戏.

(1)、当进行完3轮游戏时，总分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、若累计得分为 $i$ 的概率为 $p_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 9)$ ，初始分数为0分，记 $p_{0} = 1$
（i）证明：数列 $\{p_{i} - p_{i - 1}\} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 9)$ 是等比数列；
（ii）求活动参与者得到纪念品的概率.

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