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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (x^{2} - a x) ln x + x (a \in R, a > 0)$ ．

(1)、分析函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ 的单调性．

(2)、若 $0 < a \leq 1$ ，试问 $f (x)$ 是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由．

(3)、若 $f (x)$ 有两个零点，求满足题意的 $a$ 的最小整数值．（参考数据： $ln 2 \approx 0.693$ ， $\sqrt{e} \approx 1.649$ ）

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2、如图，将圆 $O$ 沿直径 $A B$ 折成直二面角，已知三棱锥 $P - C O D$ 的顶点 $C$ 在半圆周上， $P$ ， $D$ 在另外的半圆周上， $O C ⊥ A B$ ．

(1)、若 $O D ⊥ O P$ ，求证： $O P ⊥ C D$ ；

(2)、若 $O A = 2$ ， $∠ A O D = 30^{\circ}$ ，直线 $C D$ 与平面 $P O C$ 所成的角为 $45^{\circ}$ ，求三棱锥 $C - P O D$ 的体积．

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \{\begin{array}{l} - \frac{n + 3}{2}, n 为奇数 \\ \frac{n}{2}, n 为偶数 \end{array}$ ．

(1)、求 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 的值．

(2)、求数列的通项．

(3)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和．

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4、已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数 $y = f (x)$ 的大致图象（不用说明理由）；

(2)、求证： $\frac{f (x) + e^{x}}{x^{2}} > ln x - x + 3$ ．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $\frac{a_{n + 1} + 1}{a_{n} + 1} = 3$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = n (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{3 n^{2} + n}{2}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = 2^{n} - 1$ ，将 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的公共项由小到大排列构成新数列 $\{c_{n}\}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 的前5项和等于．

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7、过点 $P (1, 2)$ 作曲线 $C : y = \frac{4}{x}$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，则直线 $A B$ 的方程为．

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8、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x + ln x$ ，若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则下面判断正确的是（）

A、 $0 < a < \frac{1}{2}$ B、 $x_{1} x_{2} > 1$ C、 $f (x_{1}) > 0$ 且 $f (x_{2}) > - \frac{3}{2}$ D、 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < - 3$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{6} = 32$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则 $a_{3} a_{4} = 64$ B、若 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，则 $a_{1} + a_{7} = 34$ C、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则 $a_{2}$ 、 $a_{6}$ 的等比中项 $a_{4}$ 为8 D、若 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，则 $a_{2}$ 、 $a_{6}$ 的等差中项为17

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10、小明从 $4 S$ 店购买了一辆价格为25万元的家用轿车，首付11万元，剩余的款项采用分期付款的方式还款，还款方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的当年利息，年利率为10%，直到全部还完为止．则购买这辆车小明最后实际共花（）

A、28.5万元 B、30.6万元 C、31.8万元 D、32.2万元

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11、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ 在 $x \in (1, \infty)$ 单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 0$ B、 $a \leq \frac{e^{2}}{2}$ C、 $a \leq 1$ D、 $a \leq \frac{e}{2}$

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12、设 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{4} = 4$ ， $S_{3} = S_{2} + 2$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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13、在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的不同方法数共有（）

A、 $C_{3}^{1} C_{47}^{1}$ B、 $C_{3}^{1} C_{49}^{1}$ C、 $C_{50}^{2} - C_{3}^{2}$ D、 $C_{3}^{1} C_{47}^{1} + C_{3}^{2} C_{47}^{0}$

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14、函数 $f (x) = \frac{cos (\frac{π}{2} + x)}{e^{x}}$ 的导数 $f^{'} (x) =$ （）

A、 $f (x) = \frac{cos x - sin x}{e^{x}}$ B、 $f (x) = \frac{sin x - cos x}{e^{x}}$ C、 $f (x) = \frac{cos x - sin x}{e^{2 x}}$ D、 $f (x) = \frac{sin x - cos x}{e^{2 x}}$

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15、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} = 6$ ，则其通项公式可能是（）

A、 $a_{n} = n!$ B、 $a_{n} = n^{2}$ C、 $a_{n} = 2 A_{n}^{2}$ D、 $a_{n} = C_{n}^{2}$

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16、已知集合 $A = {x ∣ 0 < x < a + 1}, B = \{x ∣ x^{2} - 3 x + 2 < 0\}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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17、为了得到 $y = cos (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象，只要把 $y = sin 2 x$ 的图象上所有的点（）

A、向右平行移动 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 B、向左平行移动 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 C、向右平行移动 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 D、向左平行移动 $\frac{π}{4}$ 个单位长度

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18、“田忌赛马”我国历史上有名的“以弱胜强”的事例．齐王有 $n$ 匹马 $A_{1}, A_{2}, \dots A_{n}$ ，田忌有 $n$ 匹马 $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ ，且这 $2 n$ 匹马在比赛中的胜负可用如下不等式表示：
① $A_{n} > A_{n - 1} > \dots > A_{2} > A_{1}$ 且 $B_{n} > B_{n - 1} > \dots > B_{2} > B_{1}$ ；
② $\forall i \in Z$ 且 $2 \leq i \leq n, A_{1} > B_{i} > A_{i - 1} > B_{i - 1}$ ．
这里， $A > B$ 表示“ $A$ 马与 $B$ 马比赛， $A$ 马获胜”．一天，齐王找田忌赛马，约定：每局比赛双方各出一匹马，比赛过的马不能再次上场，共赛 $n$ 局，并记田忌在 $n$ 局比赛中获胜局数为 $X_{n}$ ．

(1)、求 $X_{3}$ 的分布列与期望；

(2)、分别求 $P (X_{n} = 0), P (X_{n} = 1)$ 的通项公式；

(3)、求证： $\forall n \in N^{*}, E (X_{n}) \geq \sqrt{n} - 1$ ．

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}, F_{1}, F_{2}$ 为 $C$ 的左，右焦点， $M$ 为 $C$ 的右顶点， $P$ 为 $C$ 的上顶点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 周长为 $4 + 2 \sqrt{2}$ ，直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $A M, B M$ 的斜率之积恒为 $- \frac{3}{2}$ ，求证：直线 $A B$ 恒过定点．

(3)、若直线 $l$ 恒过 $E (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, 0)$ ，则 $\frac{1}{| \vec{A E} |^{2}} + \frac{1}{| \vec{B E} |^{2}}$ 是否为定值？若成立，请求出该定值：若不成立，请说明理由．

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20、如图，已知 $A B$ 是圆的直径， $P A$ 垂直于圆所在的平面， $C$ 为圆上任意一点．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $P A = 1, A B = \sqrt{2}$ ，二面角 $A - P B - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，则是否存在点 $M, N$ 满足 $\vec{A M} = p \vec{A B}$ ， $\vec{C N} = q \vec{C P}$ ，使得 $M N ⊥ A B$ 且 $M N ⊥ C P$ ？若存在，求出 $p, q$ 的值；若不存在，请说明理由．

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