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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}$ ，则（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $4 π$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 对称 D、为了得到函数 $f (x)$ 的图象，只需把函数 $y = 2 \cos \frac{x}{2}$ 的图象向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位

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2、已知 $a > b > 1, c > 0$ ，则（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $c^{a} > c^{b}$ C、 $a^{c} > b^{c}$ D、 $\log_{a} c > \log_{b} c$

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3、已知A，B为样本空间 $Ω$ 中的两个随机事件，其中 $n (Ω) = 24, n (A) = 12, n (B) = 8$ ， $n (A \cup B) = 16$ ，则（）

A、事件 $A$ 与 $B$ 互斥 B、 $P (\bar{A} \bar{B}) = \frac{1}{2}$ C、事件 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、 $P (\bar{A} B + A \bar{B}) = \frac{2}{3}$

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4、若函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - a x)$ 在区间 $(1, 2)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 2]$

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5、已知 $α, β, γ$ 是三个不同的平面，且 $α ⊥ β$ ，则“ $γ / / α$ ”是“ $γ ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、下列函数中，既是偶函数，又在 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $f (x) = e^{| x |}$ B、 $f (x) = \ln | x |$ C、 $f (x) = x^{- 2}$ D、 $f (x) = \sin | x |$

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7、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 是夹角为 $120^{°}$ 的两个单位向量，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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8、已知 $\tan α = - 2, α \in (0, π)$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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9、已知集合 $A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {x ∣ 2 x > 9}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${8, 10}$ B、 ${6, 8, 10}$ C、 ${4, 6, 8, 10}$ D、 ${2, 4, 6, 8, 10}$

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10、在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(1, 2)$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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11、在 ${(a x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前三项的二项式系数之和等于 $79$ .

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若展开式中的常数项为 $\frac{55}{2}$ ，试求展开式中系数最大的项.

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12、已知函数 $h (x) = e^{x}$ （e是自然对数底数），函数 $y = φ (x)$ 的图象与函数 $y = h (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称．令 $f (x) + g (x) = h (x)$ ，其中 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别为奇函数、偶函数．

(1)、求 $y = h (x) φ (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最大值；

(2)、求 $g (x)$ ，并证明 $\frac{g (x_{1}) + g (x_{2})}{2} \geq g (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ；

(3)、求证： $δ (x) = φ (x) + φ (x + 2) + x$ 仅有1个零点 $x_{0}$ ，且 $φ (e x_{0}) < h (x_{0} + \ln x_{0})$ ．

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D / / B C$ ， $A B = B C = 2$ ， $A D = 4$ ．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若异面直线 $P B$ 与 $C D$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，求点B到平面 $P C D$ 的距离．

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14、如图，圆的内接四边形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ， C为圆周上一动点， $∠ B C D = \frac{π}{3}$ ．

(1)、若 $C D$ 为直径，求四边形 $A B C D$ 的面积；

(2)、求四边形 $A B C D$ 的周长的最大值．
（参考结论：圆的内接四边形对角互补．）

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15、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b (\cos A + \sqrt{3} \sin A) = a + c$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $a = 2$ ， $c = 5$ ， $A C$ ， $A B$ 边上的中线 $B E$ ， $C F$ 相交于点M．
（ⅰ）求 $B E$ ；
（ⅱ）求 $C M$ ．

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16、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，对任意实数x，y都有 $|\vec{a} - x \vec{b}| \geq |\vec{a} - \vec{b}|$ ， $|\vec{a} - y \vec{c}| \geq |\vec{a} - \vec{c}|$ 成立．若 $|\vec{a}| = 2$ ，则 $\vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a})$ 的最大值是．

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17、若 $\sin α + \cos α = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\tan α + \frac{1}{\tan α} =$ ．

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18、在 $△ A B C$ 中，若 $a = \sqrt{2}$ ， $∠ A = \frac{π}{6}$ ， $cos C = \frac{1}{3}$ ，则 $c =$

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19、“阿基米德多面体”也称半正多面体，又多个不全相同正多边形围成的多面体，体现了数学的对称之美．如下图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．已知 $A B = \sqrt{2}$ ，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）

A、该半正多面体的表面积是 $12 + 4 \sqrt{3}$ B、直线 $B F$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为45° C、该半正多面体有外接球，且它的表面积为 $8 π$ D、该半正多面体有内切球，且它的表面积为 $4 π$

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20、图中的左图为等大的3个灰色正方体和15个白色正方体所组成的多面体，其可以切割为①、②和③三个小多面体，则③代表的多面体可能是（）

A、 B、 C、 D、

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