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相关试卷

1、某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能(AI)技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为（）

A、 $\frac{80}{243}$ B、 $\frac{25}{81}$ C、 $\frac{70}{243}$ D、 $\frac{20}{81}$

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2、对于 $x > 0$ ， $e^{2 λ x} - \frac{1}{λ} \ln \sqrt{x} \geq 0$ 恒成立，则正数 $λ$ 的范围是（）

A、 $λ \geq \frac{1}{e}$ B、 $λ \geq \frac{1}{2 e}$ C、 $λ \geq 2 e$ D、 $λ \geq e$

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3、已知 $△ A B C$ 的面积为1，取 $△ A B C$ 各边的中点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 作 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，然后再取 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 各边的中点 $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ 作 $△ A_{2} B_{2} C_{2}, \dots$ 依此方法一直继续下去.记 $△ A_{n} B_{n} C_{n} (n \in N^{*})$ 的面积为 $a_{n}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、数列 $\{2^{n} a_{n}\}$ 为常数列 B、数列 $\{2^{n} a_{n}\}$ 为递增数列 C、数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为递减数列 D、数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为递增数列

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4、通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表如表所示：
跳绳
性别
合计
男
女
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
合计
60
50
110
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n＝a＋b＋c＋d.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
x_α
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
则以下结论正确的是（）

A、根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B、根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C、根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D、在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关

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5、若直线 $2 x - t y - 2 = 0 (t \in R)$ 与 $x + 2 y + 3 = 0$ 垂直，则 $t =$ ．

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6、若圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上总存在两个点到点 $(a, 1)$ 的距离为3，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- 2 \sqrt{6}, 2 \sqrt{6})$ C、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ D、 $(- 2 \sqrt{6}, 0) \cup (0, 2 \sqrt{6})$

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7、已知事件 $A, B$ ，且 $P (A) = 0.4, P (B) = 0.5$ ，则（）

A、事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件 B、若事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，则 $P (A \cup B) = 0.9$ C、若事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，则 $P (A B) = 0.2$ D、若 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.3$ ，则事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立

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8、Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 $L = L_{0} D^{\frac{G}{G_{0}}}$ ，其中L表示每一轮优化时使用的学习率， $L_{0}$ 表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数， $G_{0}$ 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）
（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ， $\lg 3 \approx 0.477$ ）

A、14 B、15 C、16 D、17

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9、一般地，设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若对任意 $x \in D$ ，都有 $f (2 a - x) + f (x) = 2 b$ ，则函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(a, b)$ 成中心对称图形.已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + 2}, g (x) = {log}_{3} (a x^{2} + x + a)$ .

(1)、计算 $f (2 - x) + f (x)$ 的值，并求 $f (x)$ 的对称中心.

(2)、若函数 $g (x)$ 的定义域为 $R$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

(3)、若 $a = 1$ ，将区间 $(0, 2)$ 分成 $2 n$ 等分，记等分点的横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{2 n - 1}$ ，问：是否存在正整数 $n$ ，使得不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{2 n - 1}) \leq g (x) + g (\frac{1}{x})$ 对任意 $x \in (0, 2)$ 恒成立？若存在，求出所有 $n$ 的值；若不存在，说明理由.

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10、已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}}$ .

(1)、求 $f ({log}_{2} 5) + f ({log}_{\frac{1}{2}} 5)$ 的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、设关于 $x$ 的方程 $f (9^{x} + k) + f (1 - 4 \cdot 3^{x}) = 0$ 有两个不同的实根，求 $k$ 的取值范围.

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11、已知函数 $f (x) = 2 cos x \cdot sin (x - \frac{π}{6}) + \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间.

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [- π, 0]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域.

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12、已知 $f (α) = \frac{sin (\frac{3 π}{2} + α) \cdot sin (5 π + α)}{cos (2 π + α)}$ .

(1)、化简 $f (α)$ ，并求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；

(2)、若 $f (α) = \frac{1}{5}, f (β + \frac{π}{2}) = - \frac{4}{5}, α \in (0, \frac{π}{2}), β \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $cos (α - β)$ 的值.

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13、已知集合 $M = {x | - 4 < x < 4}, N = {x | 2 m - 1 < x < 2 m + 1}$ .

(1)、当 $m = - 2$ 时，求 $(∁_{R} M) \cap N$ ；

(2)、若 $(∁_{R} M) \cap N = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (2 - a) x + 3 a - 5, x < 1, \\ {log}_{a} x, x ⩾ 1 \end{array}$ 是 $(- \infty, + \infty)$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围为.

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15、若函数 $f (x) = tan ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $2 π$ ，则 $f (\frac{π}{3}) =$ .

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16、计算： ${(\frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} - 2 \times {(\sqrt{π + 3})}^{0} + 10 \times \sqrt[3]{0.008} =$ .

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17、随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到哈尔滨赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各种冰上项目，如大滑梯､摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面的高度为 $130 m$ ，最低点离地面的高度为 $10 m$ ，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周的时间约为 $24 min$ .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 $t min (t \geq 0)$ 后距离地面高度为 $h m, h$ 与 $t$ 的关系可以用如下解析式体现： $h = A \sin (ω t + φ) + B (ω > 0, |φ| \leq \frac{π}{2})$ ，则下列说法正确的是（）

A、摩天轮的轮盘直径为 $120 m$ B、 $h$ 关于 $t$ 的函数解析式为 $h = 60 sin (\frac{π}{12} t - \frac{π}{2}) + 70 (t \geq 0)$ C、 $h$ 关于 $t$ 的函数解析式为 $h = 60 cos (\frac{π}{12} t + \frac{3 π}{2}) + 70 (t \geq 0)$ D、游客乘坐摩天轮一周的过程中，有 $16 min$ 离地面高度超过 $40 m$

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18、下列有关最值的结论正确的是（）

A、当 $x < 0$ 时，函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的最小值为2 B、若 $x, y$ 均为正数，且 $x + y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为4 C、若 $x, y$ 均为正数，且 $x + 9 y = 6 x y$ ，则 $x y$ 的最小值为1 D、若 $x, y$ 均为正数，且 $x + y = 2$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为2

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19、下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1, 1]$ ，则 $f (x - 1)$ 的定义域为 $[0, 2]$ B、函数 $y = {log}_{\frac{1}{2}} x$ 与函数 $y = 2^{x}$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称 C、函数 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ 与函数 $y = x$ 是同一函数 D、函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 4$ 在 $[- 2, 2]$ 上的值域为 $[4, 12]$

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20、中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，若扇环所在圆的圆心角 $α = \frac{2 π}{3}, \overset{⌢}{A B} = 2 \overset{⌢}{C D} = 2 π$ ，则扇环的面积为（）

A、 $\frac{9 π}{4}$ B、 $\frac{9 π}{2}$ C、 $π$ D、 $\frac{π}{2}$

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跳绳	性别		合计
跳绳	男	女	合计
爱好	40	20	60
不爱好	20	30	50
合计	60	50	110

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
x_α	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828