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1、如图，平行四边形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是用斜二测画法画出的水平放置的矩形 $O A B C$ 的直观图，若 $O^{'} A^{'} = 2 cm$ ， $O^{'} C^{'} = 3 cm$ ，则矩形 $O A B C$ 的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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2、在 $△ A B C$ 中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $\vec{A D} = λ \vec{A C} (λ \in R)$ ，记 $∠ A B D = θ$ .下列命题中正确的是（）

A、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，则 $c \sin θ = a \sin (B - θ)$ B、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，则 $c \cos θ + b \cos (A + θ) = B D$ C、若 $λ \in [0, 1]$ ，则 $\frac{\sin θ}{a} + \frac{\sin (B - θ)}{c} = \frac{\sin B}{B D}$ D、若 $λ \in [0, 1]$ ，则 $a \cos (B - θ) + b \cos (A + θ) = c \cos θ$

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3、如图，圆台 $O_{1} O_{2}$ ，在轴截面ABCD中， $A B = A D = B C = \frac{1}{2} C D = 2$ ，下面说法正确的是（）

A、线段 $A C = 2 \sqrt{3}$ B、该圆台的表面积为 $12 π$ C、该圆台的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ D、沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为5

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4、下列说法中正确的是（）

A、若 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{b} // \overset{⃑}{c}$ ，则 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{c}$ B、对于向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{c}$ ，有 $(\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}) \cdot \overset{⃑}{c} = \overset{⃑}{a} \cdot (\overset{⃑}{b} \cdot \overset{⃑}{c})$ C、向量 $\overset{⃑}{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\overset{⃑}{e_{2}} = (5, 7)$ 能作为所在平面内的一组基底 D、设 $\overset{⃑}{m}$ ， $\overset{⃑}{n}$ 为非零向量，则“存在负数λ，使得 $\overset{⃑}{m} = λ \overset{⃑}{n}$ ”是“ $\overset{⃑}{m} \cdot \overset{⃑}{n} < 0$ ”的充分而不必要条件

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5、设 $M$ 是 $△ A B C$ 内一点，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 \sqrt{3}, ∠ B A C = 30^{\circ}$ ，定义 $f (M) = (m, n, p)$ ，其中 $m, n, p$ 分别是 $△ M B C, △ M C A, △ M A B$ 的面积，若 $f (M) = (\frac{1}{2}, x, y)$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值是（）

A、 $9 (\sqrt{3} + 1)$ B、18 C、16 D、9

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6、已知圆锥的底面半径为2，高为 $2 \sqrt{3}$ ，则其侧面积为（）

A、 $2 \sqrt{3} π$ B、 $4 π$ C、 $6 π$ D、 $8 π$

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7、已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (2, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、 $- 1$

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8、已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 3 + i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- i$ D、 $i$

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9、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $a sin B = \sqrt{3} b sin \frac{A}{2}$ ．

(1)、求角A；

(2)、点M在线段 $B C$ 上，且满足 $\vec{A M} = \frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}$ ．若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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10、某实验室对某二进制数码串传输进行测试，初始二进制数码串是长度为 $n (n \in N^{*})$ 的且全部由0组成的数码串.传输过程中，每位数码以概率 $p$ 传输记为0，以概率 $1 - p$ 传输记为1，其中 $0 < p < 1$ ，每位数码的传输相互独立，并设事件 $A_{n}$ 为“传输结果各位数字之和为偶数”的事件.

(1)、当 $p = \frac{2}{3}$ 时，求 $P (A_{3})$ ；

(2)、证明：对任意的正整数 $n$ ，有 $P (A_{n}) = \frac{1 + {(2 p - 1)}^{n}}{2}$ ；

(3)、在传输结果中任取一位数码，记“取到1”的事件为 $B$ ，问： $P (B ∣ A_{n})$ 是否存在最大值？若存在，求出使 $P (B ∣ A_{n})$ 取到最大值的正整数 $n$ ；若不存在，请说明理由.

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11、已知函数 $f (x) = (1 - a) \ln x + \frac{a}{x} + x$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x) \geq 2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、试比较2.8与 $e^{1.04}$ 的大小并证明.

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12、如图1所示，四边形 $B C D E$ 满足 $B C ∥ D E$ ，过点 $B$ 作 $B A ⊥ D E$ ，点 $A$ 在线段 $D E$ 上，且满足 $B C = \sqrt{3} A B = 3 A D = 3$ ，将 $△ A B E$ 沿直线 $A B$ 翻折到 $△ P A B$ 的位置（图2）， $P B ⊥ A C$ .

(1)、求证： $A B ⊥ P D$ ；

(2)、若 $P D = 2$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值.

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13、已知 $△ A B C$ 为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b$ ，

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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14、2025年3月9日，国家卫生健康委员会在第十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，实施“体重管理年”3年行动.某公司为了响应国家号召，收集了总共100名30-40岁之间员工的BMI指数（BMI=体重÷身高 $^{2} ({kg/m}^{2})$ ），绘制成如下图的频率分布直方图.若该公司超重的人数占40%.（BMI≥24为超重）

(1)、求实数s，t的值，并求该公司员工BMI指数的众数；

(2)、该公司把超重的员工按性别单独做了统计，补全下面列联表，并根据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，分析超重是否与性别有关.
性别
正常
超重
合计
男

20

女
20

合计

100
附：列联表参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
临界值表：
$P (χ^{2} \geq k_{0})$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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15、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ，点E，F，G分别为 $B B_{1}$ ， $D D_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点，点 $P$ 在线段 $E F$ 上运动（不包括端点），过G，P， $D_{1}$ 的平面截正方体所得的截面周长的取值范围是.

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16、若 $y = x + a$ 是曲线 $y = \sqrt{x}$ 的切线，则 $a =$ .

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17、 $9^{5}$ 除以8的余数为.

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18、定义在 $R$ 上的非常数函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) f (1 - y) + f (1 - x) f (y)$ ，且 $f (0) = 0$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的一条对称轴 C、 $f (x) f (1 - x) \leq \frac{1}{2}$ D、 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2025) = 1$

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19、下列命题正确的是（）

A、若事件A，B相互独立，则 $P (A B) = P (A) \cdot P (B)$ B、若 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ， $P (A B) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (B ∣ A) = \frac{2}{3}$ C、已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，且 $P (1.5 \leq X < 2) = 0.36$ ，则 $P (X \geq 2.5) = 0.14$ D、线性相关模型中，相关系数 $r$ 越大，两个变量的线性相关程度越强

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20、已知实数 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则（）

A、 $a \geq 1, b \leq 1$ B、 $a b \leq 1$ C、 $a - b > - 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 2$

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$P (χ^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

性别	正常	超重	合计
男		20
女	20
合计			100