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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |x < - 2 或 x ＞ 3\}$ ， $B = \{x |m - 1 \leq x \leq 2 m + 3\}$ ， $m \in R$ .

(1)、若 $m = 2$ ，求 $A \cup B$ 和 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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2、若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足：， $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{1} > \frac{a_{1} + a_{2}}{2} > \cdot \cdot \cdot > \frac{a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}}{n} > \cdot \cdot \cdot$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“均值递减数列”.

(1)、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\{a_{n}\}$ 为“均值递减数列”，求证： $\forall n \in N^{*}$ ， $S_{n} > n a_{n + 1}$ ；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式 $b_{n} = - 6 {(n - 4)}^{3} + n^{2}$ ，判断 $\{b_{n}\}$ 是否为“均值递减数列”，并说明理由；

(3)、若两个正项数列 $\{c_{n}\}$ 和 $\{d_{n}\}$ 均为“均值递减数列”，证明：数列 $\{c_{n} d_{n}\}$ 也为“均值递减数列”.

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3、已知函数 $f (x) = sin x$ ， $g (x) = e^{a x}$ ， $a \in R$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $O (0, 0)$ 的切线也是曲线 $y = g (x)$ 的切线，求 $a$ 的值；

(2)、讨论函数 $h (x) = \frac{x - 1}{g (x)}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性；

(3)、若 $f (x) g (x) < x$ 对任意 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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4、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{3}{5}$ ，且经过点 $(3, \frac{16}{5})$ . $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是 $E$ 的左、右焦点.

(1)、求 $E$ 的标准方程；

(2)、过 $F_{2}$ 的直线与 $E$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点.若 $△ F_{1} P Q$ 的内切圆半径为 $r$ ， $r = \frac{\sqrt{3}}{10} |P Q|$ ，求 $|F_{2} P| \cdot |F_{2} Q|$ 的值.

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5、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $B C_{1} ⊥ A C$ .

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、若 $C C_{1} = 2 \sqrt{2}$ ，二面角 $C_{1} - A C - B$ 的大小为 $60 °$ ，求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成角的正弦值.

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6、某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示.
工艺甲
工艺乙
合计
合格
60
40
100
不合格
20
30
50
合计
80
70
150

(1)、依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关；

(2)、在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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7、已知随机变量 $X$ ， $Y$ 相互独立，且 $X \sim N (4, 4)$ ， $Y \sim B (8, \frac{1}{2})$ ，则 $P (X \leq 4, Y \leq 4) =$ ；若 $Z = X + Y$ ，则 $\sum_{t = 1}^{15} P (Z \leq t) =$ .

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8、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，焦距长为 $4 \sqrt{3}$ .若 $C$ 和抛物线 $y^{2} = x$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $△ O A B$ 为正三角形，则 $C$ 的离心率为.

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9、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 3)$ ，若 $\vec{a} ∥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则实数 $x$ 的值为.

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10、已知 $P$ 为曲线 $E$ ： $y^{4} = 4 x$ 上一个动点（异于原点）， $E$ 在 $P (x, y) (y \neq 0)$ 处的切线是指曲线 $y = \pm \sqrt[4]{4 x}$ 在 $P$ 处的切线.直线 $m$ 为 $E$ 在 $P$ 处的切线，过 $P$ 作 $m$ 的垂线 $n$ ，若 $m$ ， $n$ 分别与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、 $E$ 关于 $x$ 轴对称 B、 $P$ 到点 $F (1, 0)$ 的距离不小于 $P$ 到直线 $x = - 1$ 的距离 C、存在 $P$ ，使得 $2 |P A| = |P B|$ D、当 $|A B|$ 取得最小值时，直线 $O P$ 的斜率为 $\pm 4 \sqrt{2}$

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11、 ${(1 - 2 x)}^{5}$ 的展开式中，则（）

A、 $x$ 的系数为 $- 10$ B、第3项与第4项的二项式系数相等 C、所有项的二项式系数和为32 D、所有项的系数和为32

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12、一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中盛有一定体积的水，当底面 $A B C$ 水平放置时，水面高为 $\frac{15}{4}$ .当侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A、 $\frac{100}{3} π$ B、 $\frac{200}{3} π$ C、 $100 π$ D、 $\frac{400}{3} π$

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13、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ .若 $f (x + 1)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，且 $f (x) - g (x - 2) = 2 - x$ ，则 $f (g (- 1)) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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14、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q \neq - 1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则对于 $\forall n \in N^{*}$ ，下列结论一定正确的是（）

A、 $S_{n} + S_{3 n} = 2 S_{2 n}$ B、 $3 S_{n} + S_{3 n} = 2 S_{2 n}$ C、 $S_{2 n}^{2} = S_{n} S_{3 n}$ D、 $S_{2 n} (S_{2 n} - S_{n}) = S_{n} (S_{3 n} - S_{n})$

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15、已知圆 $C$ ： $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{10}{3}$ ，将直线 $l_{1}$ ： $\sqrt{3} x - y = 0$ 绕原点按顺时针方向旋转 $30 °$ 后得到直线 $l_{2}$ ，则（）

A、直线 $l_{2}$ 过圆心 $C$ B、直线 $l_{2}$ 与圆 $C$ 相交，但不过圆心 C、直线 $l_{2}$ 与圆 $C$ 相切 D、直线 $l_{2}$ 与圆 $C$ 无公共点

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16、诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（）

A、极差 B、平均数 C、中位数 D、标准差

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17、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ， $B = \{x |0 < {log}_{2} x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{2, 3, 4\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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18、在空间中，点 $O$ 为定点，设集合 $S = \{P |{|\vec{O P}|}^{2} - 2 \vec{O A} \cdot \vec{O P} \leq 1, |\vec{O A}| = 1\}$ ，则以下说法正确的是（）.
①若 $\vec{O P}$ 在 $\vec{O A}$ 上的数量投影为 $- \frac{1}{5}$ ，则线段 $O P$ 在运动过程中所形成的几何体体积为 $\frac{14}{375} π$ ；
②对于任意的 $P_{i} \in S$ 以及任意的正实数 $a_{i}$ ，设 $\vec{O Q} = \sum_{i = 1}^{4} a_{i} \vec{O P_{i}}$ ，若 $\sum_{i = 1}^{4} a_{i} = 1$ ，则 $Q \in S$ .

A、①是真命题，②是真命题 B、①是真命题，②是假命题 C、①是假命题，②是真命题 D、①是假命题，②是假命题

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19、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点D是BC的中点， $A B = A A_{1} = 4$ ．

(1)、求证： $A_{1} B //$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求证：平面 $A D C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(3)、求直线 $A_{1} B$ 到平面 $A D C_{1}$ 的距离．

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $\vec{m} = (cos B, cos C)$ ， $\vec{n} = (- 2 a + c, b)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$ ，

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a + c = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3}{4} \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

(3)、若三角形为锐角三角形，且 $b = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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	工艺甲	工艺乙	合计
合格	60	40	100
不合格	20	30	50
合计	80	70	150

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828