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相关试卷

1、设各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{4} \cdot a_{10} = 2 a_{8}$ ，则 ${log}_{2} (a_{1} a_{2} \dots a_{10} a_{11})$ 等于（）

A、 $2^{10}$ B、 $2^{11}$ C、11 D、10

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2、向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作： $\vec{a} \times \vec{b}$ ．规定：① $\vec{a} \times \vec{b}$ 为同时与 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 垂直的向量，且与 $\vec{b} \times \vec{a}$ 为相反向量；② $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ （ $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 为向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角）；

(1)、证明： $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{{|\vec{a}|}^{2} {|\vec{b}|}^{2} - {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2}}$ ；

(2)、如图，已知棱长均为1的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，且 $∠ B A D = ∠ B A A_{1} = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ，计算 $∣ (\vec{A B} \times \vec{A D}) \cdot \vec{A A_{1}} ∣$ 的值，并解释其几何意义．

(3)、有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面 $α_{1}$ ， $α_{2}$ ， $α_{3}$ ， $α_{4}$ 上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长．

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3、如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为直角梯形，四边形ADEF为矩形，且平面 $A D E F ⊥$ 平面ABCD， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = C D = 2 A B = 2$ ．

(1)、证明：平面 $A B F / /$ 平面 $C D E$ ；

(2)、当异面直线BF与CE所成角取最大时，求DE；

(3)、当 $D E = 2$ 时，求二面角 $B - C F - E$ 的正弦值．

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4、已知函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}$ ．

(1)、解方程 $f (x) = \frac{10}{3}$ ；

(2)、若 $f (3 x) - m f (x) \geq 0$ 恒成立，求m的取值范围．

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的角平分线交BC于点D且 $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{\sqrt{3}}{A D}$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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6、已知复数 $z = 1 + b i$ （ $b \in R$ ， i为虚数单位）， $\frac{z - 2}{1 + i}$ 是纯虚数.

(1)、求复数z；

(2)、若复数 $z_{1} = 2 z - 1$ 是关于x的方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的根，求实数m和n的值.

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7、已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为．

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8、已知向量 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}| = 2$ ，且向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $(2 \vec{a}) \cdot (3 \vec{b}) =$ ．

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9、如图，若斜边长为 $2 \sqrt{2}$ 的等腰直角 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ （ $B^{'}$ 与 $O^{'}$ 重合）是水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，则 $△ A B C$ 的面积为．

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10、如图1，矩形 $A B C D$ ，已知 $A B = 2, A D = 1$ ， $E$ 为 $C D$ 中点，现将 $△ A E D$ 沿 $A E$ 翻折后得到如图2的四棱锥 $D^{'} - A B C E$ ，点 $F$ 是线段 $D^{'} B$ 上（不含端点）的动点，则下列正确的是（）

A、当 $F$ 为线段 $D^{'} B$ 中点时， $C F //$ 平面 $A D^{'} E$ B、当 $F$ 为线段 $D^{'} B$ 中点时，过点 $A, E, F$ 的截面交 $C D^{'}$ 于点 $M$ ，则 $2 C M = D^{'} M$ C、在翻折过程中，存在一个位置使得 $A E ⊥ C D^{'}$ D、当 $A D^{'} ⊥ B D^{'}$ 时， $A F + C F$ 的最小值为 $\sqrt{4 + \frac{\sqrt{33}}{3}}$

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11、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = 4, b = 10, A = \frac{π}{4}$ ，则满足条件的三角形有两个 B、若 $tan A + tan B + tan C > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $sin A + sin B + sin C > cos A + cos B + cos C$ D、若 $a = 3, b = 2 c$ ，则 $△ A B C$ 的面积最大值为3

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12、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, x)$ ，则下列正确的是（）

A、 $∣ \vec{a} ∣ = \sqrt{5}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = - 4$ C、当 $x = 2$ 时，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{4} \vec{b}$ D、若向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 夹角为钝角，则 $x \in (- \infty, 1)$

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13、已知一件工艺品由外层一个封闭的大正方体，内层一个正四面体构成，已知外层正方体的棱长为2，在该大正方体内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体可在大正方体内任意转动，则a的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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14、已知 $a \cdot 2^{a} = b \cdot {log}_{2} b = 1$ ，则下列不正确的是（）

A、 $2^{a} + a = b + {log}_{2} b$ B、 $a + b = 2^{a} + {log}_{2} b$ C、 $a b = 1$ D、 $a + b = 2$

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15、如图，已知平面内并列的八个全等的正方形，则 $∠ O A E + ∠ O B E + ∠ O C E + ∠ O D E =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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16、已知平面 $α, β$ ，直线 $l \subset α$ ，直线 $m ⊄ α$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $α / / β, m ⊥ β$ ，则 $l ⊥ m$ B、若 $α / / β, l / / m$ ，则 $m / / β$ C、若 $α ⊥ β, m / / β$ ，则 $l / / m$ D、若 $l ⊥ m, m / / β$ ，则 $α ⊥ β$

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17、最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度 $=$ 器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位 $cm$ ），则平地降雪厚度的近似值为（）

A、 $\frac{91}{12} cm$ B、 $\frac{31}{4} cm$ C、 $\frac{95}{12} cm$ D、 $\frac{97}{12} cm$

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18、在 $△ A B C$ 中， $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，则 $\vec{A C} =$ （）

A、 $4 \vec{A D} - 3 \vec{A B}$ B、 $3 \vec{A D} - 4 \vec{A B}$ C、 $3 \vec{A D} - 2 \vec{A B}$ D、 $2 \vec{A D} - 3 \vec{A B}$

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19、已知复数 $(1 - i) z = 2$ （i为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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20、已知集合 $A = \{- 3, - 1, 1, 2, 3\}, B = \{x |x^{2} - 2 x - 3 = 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 3\}$ B、 $\{- 3, 1\}$ C、 $\{3\}$ D、 $\{- 3\}$

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