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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \{\begin{cases} 3 n - 1, n 为奇数 \\ {(- 2)}^{n}, n 为偶数 \end{cases}$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{6} = 17$ B、 $a_{4} > a_{5}$ C、 $S_{5} = 42$ D、 $S_{6} > S_{5}$

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2、下列说法中正确的是（）

A、用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体 $m$ 被抽到的概率是 $12 %$ B、从装有 $3$ 个红球， $4$ 个白球的袋中任意摸出 $3$ 个球，事件 $A =$ “至少有 $2$ 个红球”，事件 $B =$ “都是白球”，则事件 $A$ 与事件 $B$ 是对立事件 C、数据 $13, 27, 24, 12, 14, 30, 15, 17, 19, 23$ 的第70百分位数是23.5 D、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的标准差为1，则数据 $3 x_{1} - 1, 3 x_{2} - 1, \dots, 3 x_{10} - 1$ 的标准差为9

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3、在Python编程语言中， $m \times n$ 数组可以看作是 $m$ 行、 $n$ 列的数表，第 $i$ 行、第 $j$ 列的数记为 $a [i, j]$ ，例如 $a [2, 3]$ 表示第2行、第3列的数．如果 $m \times n$ 数组中存在 $a [p, q]$ ，对任意的 $i, j (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$ ，都有 $a [p, j] \geq a [p, q]$ ，且 $a [i, q] \leq a [p, q]$ 成立，则称该数组为“ $β$ 数组”，满足条件的 $a [p, q]$ 记为“ $β$ 数组”的“核”．

(1)、若 $2 \times 3$ 数组 $A$ 与 $3 \times 3$ 数组 $B$ 以数表形式表示如下：
判断数组 $A$ 与数组 $B$ 是否为“ $β$ 数组”，如果是，求出它的“核”；

(2)、已知数组 $C$ 是一个元素互不相同的 $3 \times 2$ 数组，元素 $c [i, j] \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $(i = 1, 2, 3, j = 1, 2)$ ，在数组 $C$ 是“ $β$ 数组”的条件下，求它的“核”是4的概率；

(3)、现将 $1, 2, 3, 4, \dots, n^{2} - 1, n^{2}$ 这 $n^{2}$ 个元素全部填入 $n \times n$ 数组 $D$ 中，满足是“ $β$ 数组”的全体构成一个集合 $M$ ，从集合 $M$ 中任取一个元素，记它的“核”为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ．

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形， $A B // C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A B = P D = A D = \frac{1}{2} C D = 2$ ． $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $E$ 为棱 $P C$ 上的点，点 $F$ 为棱 $A D$ 上的点，点 $G$ 为棱 $P B$ 上的点．

(1)、若 $E$ 、 $F$ 分别为棱 $P C$ ， $A D$ 的中点，证明： $E F //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求 $P D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $\frac{D F}{D A} = \frac{P G}{P B} = \frac{P E}{P C} = λ (λ \in (0, 1))$ ，当 $λ$ 取何值时，三棱锥 $C - E F G$ 体积取得最大．

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5、为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了50人，得到如下列联表：
正常
不正常
合计
患该疾病
7
18
25
未患该疾病
19
6
25
合计
26
24
50

(1)、记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 $p$ ，求 $p$ 的估计值；

(2)、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (b + d) (c + d)}$ ．
$P (χ^{2} \geq k_{0})$
$0.050$ $0.010$ $0.001$
$k_{0}$
$3.841$ $6.635$ $10.828$

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6、已知 $f (x) = {(\frac{m}{x} + 2 x)}^{4}$ （ $m \in R$ 为常数）．

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $f (x)$ 的二项展开式中各项系数的和；

(2)、若 $f (x)$ 的二项展开式中常数项为24，求实数 $m$ 的值．

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7、学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的 $A$ 套餐和 $B$ 套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了 $A$ 套餐，则第2天选择 $A$ 套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ；若他前1天选择了 $B$ 套餐，则第2天选择了 $A$ 套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ．已知他开学第1天中午选择 $A$ 套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则第2天选择 $A$ 套餐的概率为，设开学4天后，他累计选 $A$ 套餐的天数为 $X$ ，则 $E (X) =$ ．

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8、已知空间四点 $A (0, 0, 0)$ ， $B (2, 1, 1)$ ， $C (1, 0, 2)$ ， $D (5, 2, m)$ 构成梯形，则实数 $m$ 的值为．

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9、已知函数 $f (x) = x^{2} + ln x - 2 x$ ，则该函数在 $x = 1$ 处的切线斜率为．

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10、已知 $C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} + 2^{2} C_{n}^{3} + \dots + 2^{n - 1} C_{n}^{n} = M (n \in N^{*})$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $2 M + 1 = 81$ ，则 $n = 4$ B、若 $2 M + 1 + 4^{n} = 5^{n}$ ，则 $n = 2$ C、若 $M = 121$ ，则 ${(x^{2} + 3 x + 2)}^{n}$ 中含 $x^{5}$ 项的系数为48 D、若 $n$ 为偶数，则 $M$ 能被4整除

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11、为了探讨学生的物理成绩 $y$ 与数学成绩 $x$ 之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3 \dots, 10)$ ，并计算出 $\bar{x} = 80$ ，物理成绩 $y$ 关于数学成绩 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.8 x + 12.5$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\bar{y} = 76.5$ B、当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5 C、相关系数 $r > 0$ D、现发现10位同学中有两位同学数据（70，65）和（90，100）误差较大，剔除这两对数据后，得到的线性回归方程为 $\hat{y} = x + a$ ，则实数 $a$ 的值为 $- 5$

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12、下列说法正确的是（）

A、设随机变量 $X \sim B (4, \frac{1}{2})$ ，则 $P (X = 2) = \frac{3}{8}$ B、设离散型随机变量 $ξ$ 满足 $E (ξ) = 2$ ，则 $E (2 ξ - 1) = 14$ C、设随机变量 $η$ 服从正态分布 $N (5, σ^{2})$ ，则 $P (η > 7) = P (η < 3)$ D、从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为 $X$ ，则 $P (X = 0) > P (X = 1)$

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13、已知函数 $f (x)$ 定义域为 $R, f (x - 1)$ 为偶函数， $f (x) - 1$ 是奇函数且 $f (1) = 0$ ，则 $f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + \dots \dots + f (2025) =$ （）

A、2024 B、2025 C、2026 D、2027

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，点 $E, F$ 分别为 $P B, P D$ 的中点，若 $\vec{P G} = \frac{1}{2} \vec{G C}$ ，且 $\vec{A G} = x \vec{A E} + y \vec{A F}$ ，则 $x + y =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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15、已知 $a, b$ 为正数， $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则 $a b + a + b$ 的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、8 C、 $7 + 4 \sqrt{3}$ D、 $8 + 4 \sqrt{3}$

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16、下列函数中，其图象与函数 $y = 2^{x}$ 的图象关于坐标原点对称的是（）

A、 $y = - 2^{- x}$ B、 $y = - {log}_{\frac{1}{2}} x$ C、 $y = - {log}_{2} x$ D、 $y = - 2^{x}$

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17、下列选项正确的是（）

A、 $A_{9}^{5} = 5 A_{8}^{4}$ B、 $A_{4}^{3} + A_{4}^{4} = A_{5}^{4}$ C、 $C_{13}^{7} = C_{13}^{5}$ D、 $3 C_{8}^{3} = 8 C_{7}^{2}$

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18、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (x^{2} - x)$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ B、 $(0, 1]$ C、 $(0, 1)$ D、 $(- \infty, 0) \cup [1, + \infty)$

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19、设全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，集合 $A = \{0, 3\}$ ，则 $∁_{U} A$ 中元素个数为（）

A、0 B、2 C、3 D、4

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为2，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列，则 $S_{10} =$ （）

A、10 B、8 C、0 D、 $- 6$

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	正常	不正常	合计
患该疾病	7	18	25
未患该疾病	19	6	25
合计	26	24	50

$P (χ^{2} \geq k_{0})$	$0.050$ $0.010$ $0.001$
$k_{0}$	$3.841$ $6.635$ $10.828$