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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = {sin}^{4} x - {cos}^{2} x$ ，则下列正确的是（）

A、 $π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减

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2、下列结论正确的是（）

A、若随机变量 $X \sim N (2, 1)$ ，则 $P (x \geq 3) > 0.5$ B、若随机变量 $X \sim N (2, 1)$ ，则 $P (3 < x < 4) < P (1 < x < 2)$ C、若随机变量 $X \sim B (n, \frac{1}{2})$ ，且 $E (X) = 2$ ，则 $D (X) = 1$ D、若随机变量 $X \sim B (n, \frac{1}{2})$ ，且 $D (X) = 1$ ，则 $D (2 X - 1) = 4$

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3、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (\frac{1}{x}) = - f (x), f (\frac{2}{x}) = - f (2 x)$ ，当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ ，则函数 $y = f (x) + \frac{1}{4}$ 在区间 $[1, 100]$ 内的零点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点， $A$ 为左顶点， $B$ 是双曲线在第四象限上一点， $B F_{2}$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ ，且 $A B ⊥ B F_{2}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $S_{n} > 0$ ，则 $a_{n} > 0$ B、若 $S_{n} > 0$ ，则 $a_{n} + S_{n} > 0$ C、若 $S_{n} \geq a_{n}$ ，则 $a_{n} > 0$ D、若 $a_{n} + S_{n} \geq 0$ ，则 $S_{3} \geq a_{3}$

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6、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{3}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{b}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{b}$

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7、尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 $E$ （单位：焦耳）与地震里氏震级 $M$ 之间的关系为： $lg E = 4.8 + 1.5 M$ .若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为 $E_{1}$ ， 2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为 $E_{2}$ ，则 $\frac{E_{1}}{E_{2}} =$ （）

A、 $100$ B、 $200$ C、 $1000$ D、 $2000$

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8、“ $k = 0$ ”是“直线 $y = k x + 2$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ 相切”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知复数 $z$ 满足 $i z = 1 + i (i$ 为虚数单位 $)$ ，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $2 \sqrt{2}$

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10、已知集合 $M = \{x \in Z ∣ 2^{x} < 8\}, N = {x ∣ |x - 2| < 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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11、将所有正整数按照如下规律形成数阵：
第1行   1   2   3   ……   7   8   9
第2行   10   11   12   ……   97   98   99
第3行   100   101   102   ……   997   998   999
第4行   1000   1001   1002   ……   9997   9998   9999
…………

(1)、将数列 $\{3 n + 1\}$ 与数列 $\{2^{n}\}$ 的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列 $\{a_{n}\}$ ，试确定 $a_{6}$ 在该数阵中的位置；

(2)、将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第 $n$ 行中正整数的个数为 $b_{n}$ .
（i）求 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ；
（ii）求 $b_{n}$ .

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12、已知函数 $f (x) = x e^{x} - a$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 零点的个数；

(2)、若 $|f (x)| > a x (ln x + 1)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $E$ 为 $P C$ 的中点， $P A = A D$ ， $P D ⊥ B E$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P D = A D$ ，直线 $P B$ 与平面 $P D A$ 所成角的正切值等于2，求平面 $A B E$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 为 $B C$ 边上的三等分点， $B C = 3 \sqrt{3}$ ， $∠ B A E = \frac{π}{3}$ ．

(1)、若 $A E = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $A C$ 长的最大值；

(3)、若 $∠ B A E = ∠ C A D$ ，求 $\cos ∠ D A E$ 的值．

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15、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，现有下面两种对 $f (x)$ 变换的操作：
$φ$ 变换： $f (x) \to f (x) - f (x - t)$ ；
$ω$ 变换： $f (x) \to | f (x + t) - f (x) |$ ，其中 $t > 0$ ．

(1)、若 $f (x) = 3^{x}$ ， $t = 1$ ，对 $f (x)$ 进行 $φ$ 变换后得到函数 $g (x)$ ，解方程 $g (x) = 2$ ；

(2)、若 $f (x) = \sin (2 x)$ ， $t = \frac{π}{4}$ ，对 $f (x)$ 进行 $ω$ 变换后得到函数 $h (x)$ ，解不等式 $h (x) < 1$ ；

(3)、定义：先对 $f (x)$ 进行 $φ$ 变换得到函数 $g (x) = f (x) - f (x - t)$ ；再对 $g (x)$ 进行 $ω$ 变换得到函数 $h (x) = | g (x + t) - g (x) |$ ．设 $F (x) = h (x - a) + b$ ， $(a, b \in R)$ ．证明：无论 $f (x)$ 是奇函数还是偶函数，函数 $F (x)$ 的图象总关于直线 $x = a$ 对称．

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16、某同学用“五点法”画函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
$ω x + φ$
0
$\frac{π}{2}$
$π$
$\frac{3π}{2}$
$2π$
$x$
$a$
$\frac{π}{3}$
$b$
$\frac{5π}{6}$
$c$
$A \sin (ω x + φ)$
0
2
0
$- 2$
0

(1)、请将上表数据补充完整，并直接写出 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值和函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) + m$ ，若函数 $g (x)$ 图像在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有2个零点，求 $m$ 的取值范围；

(3)、将 $y = f (x)$ 图象上所有点向左平行移动 $θ (θ > 0)$ 个单位长度，得到 $y = h (x)$ 的图象．若 $y = h (x)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{11 π}{12}, 0)$ ，求 $θ$ 的最小值．

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17、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，

(1)、求四棱锥 $A - B B_{1} D_{1} D$ 的体积；

(2)、若点 $P$ ， $Q$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点，求过点 $A_{1}$ ， $P$ ， $Q$ 的平面截正方体所得的截面的周长．

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18、若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60^{°}$ 的两个单位向量，已知向量 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = λ \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$

(1)、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若 $λ = - 3$ ，求向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角．

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19、设 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，若 $\vec{O A} = \frac{1}{4} \vec{O B} + \vec{O C}$ ，则 $\cos ∠ B A C$ 等于．

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20、如图，为了测量两山顶 $M$ ， $N$ 间的距离，飞机沿水平方向在 $A$ ， $B$ 两点进行测量， $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 在同一铅垂平面内，飞机在 $A$ 点到 $M$ ， $N$ 点的俯角分别为 $75 °$ ， $30 °$ ，飞行3千米后，在 $B$ 点到 $M$ ， $N$ 点的俯角分别为 $45 °$ ， $60 °$ ，则测得两山顶 $M$ ， $N$ 间距离为千米．

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$ω x + φ$	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3π}{2}$	$2π$
$x$	$a$	$\frac{π}{3}$	$b$	$\frac{5π}{6}$	$c$
$A \sin (ω x + φ)$	0	2	0	$- 2$	0