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相关试卷

1、已知 $a, b \in R^{+}$ ， $4 a + b = 1$ ，则（）

A、ab的最大值为 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为8 C、 $\frac{a b}{a + b}$ 的最大值为 $\frac{1}{9}$ D、 $a b + \frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为2

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2、（多选）下列命题为真命题的是（）

A、“ $A \cap B \neq \emptyset$ ”是“ $A \subseteq B$ ”的必要不充分条件 B、“ $x > \sqrt{2}$ ”是“ $x > 1$ ”的充分不必要条件 C、“ $m \neq 0$ ”是“ $m n \neq 0$ ”的充分条件 D、“ $a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + b c + a c$ ”是“ $a = b = c$ ”的充要条件

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3、已知全集 $U = Z$ ，集合 $A = \{x | 2 x + 1 ＞ 0, x \in Z\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A \cap B = \{0, 1, 2\}$ B、 $A \cup B = \{x | x ＞ 0\}$ C、 $(∁_{U} A) \cap B = \{1\}$ D、 $A \cap B$ 的真子集个数是7

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4、某市评选市级三好学生，申报条件之一为：申报者须获得校级三好学生资格.则“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、如图1所示，在等腰梯形 $A B C D$ ， $B C ∥ A D$ ， $C E ⊥ A D$ ，垂足为 $E$ ， $A D = 3 B C = 3$ ， $E C = 1$ .将 $Δ D E C$ 沿 $E C$ 折起到 $Δ D_{1} E C$ 的位置，使平面 $Δ D_{1} E C ⊥$ 平面 $A B C E$ ，如图2所示，点 $G$ 为棱 $A D_{1}$ 上一个动点．
(Ⅰ)当点 $G$ 为棱 $A D_{1}$ 中点时，求证： $B G ∥$ 平面 $D_{1} E C$
(Ⅱ)求证： $A B ⊥$ 平面 $D_{1} B E$ ；
(Ⅲ)是否存在点 $G$ ，使得二面角 $G - B E - D_{1}$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ？若存在，求出 $A G$ 的长；若不存在，请说明理由．

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6、已知直线 $x + m y - 2 m - 1 = 0$ 恒过定点 $A$ .
（1）若直线 $l$ 经过点 $A$ 且与直线 $2 x + y - 5 = 0$ 垂直，求直线 $l$ 的方程；
（2）若直线 $l$ 经过点 $A$ 且坐标原点到直线 $l$ 的距离等于1，求直线 $l$ 的方程.

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7、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B A C = 60 °, B C = \sqrt{6}$ ， D为BC上一点，AD为 $∠ B A C$ 的平分线，则 $A D =$ .

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8、若两条平行直线 $A x - 2 y - 1 = 0$ 与 $6 x - 4 y + C = 0$ 之间的距离为 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ ，则 $C =$ .

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9、在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示， $V A$ ， $V B$ ， $V C$ 两两垂直， $V A = V B = V C = 1$ （单位： $dm$ ），小明同学计划通过侧面 $V A C$ 内任意一点 $P$ 将木块锯开，使截面平行于直线 $V B$ 和 $A C$ ，则该截面面积（单位： ${dm}^{2}$ ）的最大值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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10、设集合 $A = {(x, y) | x - y \geq 0, a x + y \geq 2, x - a y \leq 2}$ ，则（）

A、当 $a = 1$ 时， $(1, 1) \notin A$ B、对任意实数 $a$ ， $(1, 1) \in A$ C、当 $a < 0$ 时， $(1, 1) \notin A$ D、对任意实数 $a$ ， $(1, 1) \notin A$

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11、已知直线 $l_{1}$ ： $a x - 3 y + 12 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + (a - 4) y + 4 = 0$ ，若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $1$ B、 $3$ C、 $1$ 或 $0$ D、 $1$ 或 $3$

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12、设平面 $α$ 的法向量为 $\overset{⇀}{n}$ ，直线 $l$ 的方向向量为 $\overset{⇀}{m}$ ，那么“ $< \overset{⇀}{m}, \overset{⇀}{n} > = 60 °$ ”是“直线 $l$ 与平面 $α$ 夹角为 $30 °$ ”的

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (4, x, y)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、 $4$ D、 $2$

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 120 °$ ， $A B = 2$ ， $A C \cap B D = O$ ， $P O ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $O P = 2$ ，点 $E$ 在棱 $P D$ 上．

(1)、求证：平面 $A C E ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、当 $C E$ 取得最小值时，求二面角 $P - A C - E$ 的余弦值．

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15、（多选）已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x | x < - 2$ 或 $x > 3}$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $a < 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集是 ${x | x < - 6}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 ${x | x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > \frac{1}{2}}$

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16、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{M N}$ ＝（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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17、已知 $A$ 是 $△ A B C$ 的内角，则“ $A > \frac{π}{4}$ ”是“ $\sin A > \frac{\sqrt{2}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、为了研究“长期长跑”与“半月板损伤”之间的关系，研究人员在长跑爱好者中随机抽取了1000人进行调查，所得数据统计如下表所示：
组别
半月板的健康状况
合计
半月板正常
半月板损伤
长期长跑
40
360
400
非长期长跑
460
140
600
合计
500
500
1000

(1)、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，判断“长期长跑”与“半月板损伤”之间是否相关；

(2)、若按照半月板的健康状况，使用分层随机抽样的方法从长期长跑的爱好者中随机抽取 $10$ 人，再从这 $10$ 人中随机挑选 $2$ 人，记抽到的 $2$ 人中半月板损伤的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与均值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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19、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称轴方程；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ 上的最大值，并求出此时对应的 $x$ 的值.

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20、若 $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 2 (x - 2) + 2$ ，已知数列 $\{a_{n}\}$ 中，首项 $a_{1} = \frac{1}{20}$ ， $a_{n} = a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{n}}{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{79} f (a_{i}) =$ .

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组别	半月板的健康状况		合计
组别	半月板正常	半月板损伤	合计
长期长跑	40	360	400
非长期长跑	460	140	600
合计	500	500	1000

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828