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相关试卷

1、狄利克雷函数 $D (x)$ 定义为： $D (x) = \{\begin{array}{l} 1, x 为有理数 \\ 0, x 为无理数 \end{array}$ ，以下选项中正确的是（）

A、不存在 $a \in R$ ，使得 $D (a + x) = D (a - x)$ 恒成立 B、存在 $a \in R$ ，使得 $D (a + x) + D (a - x) = 1$ 恒成立 C、对任意 $x_{1}, x_{2}$ ，满足 $D (x_{1}) D (x_{2}) = D (x_{1} + x_{2})$ D、函数图象上存在三点 $A, B, C$ ，使得 $△ A B C$ 是直角三角形

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2、已知过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点 $F$ 的直线与该抛物线交于 $A, B$ 两点，若 $|A F| + 4 |B F| = 9$ ，则 $p$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，已知 $A = 30 °, a = \sqrt{2}, b = 2$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $B < 60 °$ B、 $B > 90 °$ C、 $c > 2$ D、 $c < 3$

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4、已知函数 $f (x) = a \sqrt{x} - ln x$ 在区间 $(1, 4)$ 上单调递增，则 $a$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5、将一个棱长为6cm的正方体铁块熔铸成一个底面半径为3cm的圆锥体零件，则该圆锥体零件的高约为（）（ $π$ 取 $3$ ）

A、8cm B、12cm C、16cm D、24cm

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6、已知 $|\vec{a}| = 1, |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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7、已知集合 $A = {x | - 6 < x^{2} < 6}$ ，集合 $B = \{- 3, - 1, 0, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{0, 2\}$ C、 $\{- 3, - 1, 0\}$ D、 $\{- 1, 0, 2\}$

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8、设有穷数列 $\{a_{n}\}$ 的项数 $m (m \geq 2)$ ，若正整数 $k (2 \leq k \leq m)$ 满足 $\forall n < k$ ， $a_{n} > a_{k}$ 则称 $k$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的“低洼点”．

(1)、若 $a_{n} = {(- 1)}^{n} (2^{n} - 7) (1 \leq n \leq 5)$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的“低洼点”；

(2)、已知有穷等比数列 $\{b_{n}\}$ 的公比为 $2$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若数列 $\{S_{n} + \frac{1}{S_{n}}\}$ 存在“低洼点”，求正数 $b_{1}$ 的取值范围；

(3)、若 $c_{n} \geq c_{n - 1} - 1 (2 \leq n \leq m)$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 的“低洼点”的个数为 $s$ ，证明： $c_{1} - c_{m} \leq s$

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9、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + a ln (1 - x)$ ，其中 $a \in R$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f^{'} (\frac{1}{2})$ 的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，讨论函数的单调性；

(3)、若函数 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $\frac{1}{2} - ln 2 < \frac{2 f (x_{1})}{x_{2}} < 0$ ．

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10、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 的右焦点为 $F (\sqrt{3}, 0)$ 且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $P (0, 1)$ ，不过点 $P$ 的直线 $l$ 与双曲线交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $P A$ ， $A B$ ， $P B$ 的斜率依次成等比数列，求点 $P$ 到直线 $l$ 距离的取值范围．

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P C D$ 为等边三角形，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ C D A = \frac{π}{2}$ ， $A D = 2 B C$ ， $B C / / A D$ ， $B C ⊥ P D$ ．

(1)、求证：面 $P C D ⊥$ 面 $A B C D$ ；

(2)、若直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求二面角 $A - P B - D$ 的余弦值．

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，且满足 $b_{1} = 3 a_{1} = 3$ ， $b_{2} = S_{2} + 6$ ， $b_{3} = S_{3} + 21$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = b_{n} + \frac{1}{S_{n}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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13、设函数 $f (x) = (e^{x + t} - λ x) (ln x - 2 λ x)$ ，若存在实数 $λ$ 使得 $f (x) < 0$ 恒成立，则 $t$ 的取值范围是．

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14、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ，点 $A (7, 6)$ ， $B$ 为圆 $C$ 上的动点， $Q$ 为 $x$ 轴上的动点，则 $|Q A| + |Q B|$ 的最小值为．

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15、已知 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (k, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (k \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $k =$ ．

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16、如图，数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，爱心曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 1 + |x| y$ 就是其中之一，下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 上的点的横坐标取值范围是 $[- \frac{4}{3}, \frac{4}{3}]$ B、曲线 $C$ 上的点到原点的距离最大值为 $\sqrt{2}$ C、曲线 $C$ 恰好经过6个整数点（即横坐标、纵坐标均为整数） D、曲线 $C$ 所围成的“心形”区域面积大于3

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17、若正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} - ln a_{n}$ ， $0 < a_{1} < 1$ ，设 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ ， $T_{n} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \dots \cdot a_{n}$ ，则下列说法中一定正确的是（）

A、对任意的正整数 $n$ ，恒有 $a_{n + 1} > 1$ B、对任意的正整数 $n$ ，恒有 $a_{n + 1} > a_{n}$ C、对任意的正整数 $n$ ，恒有 $S_{n} > n$ D、对任意的正整数 $n$ ，恒有 $0 < T_{n} < 1$

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4$ ， $x \in [0, 3]$ ，则下列命题正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $[2, 3]$ 上为增函数； B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[1, 4]$ ； C、函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $3 x + y - \frac{10}{3} = 0$ D、关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有2个不同的根当且仅当 $a \in (- \frac{4}{3}, 1]$

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19、已知 $\{a_{n}\}$ 是递增的等比数列．若 $a_{3} - 2 a_{2} + a_{1} = 2$ ，当 $a_{9}$ 取得最小值时，则 $a_{1} =$ （）

A、 $9$ B、 $16$ C、 $18$ D、 $24$

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20、动直线 $l$ 分别交直线 $y = x - 2$ 和曲线 $y = \frac{3}{2} x^{2} - 2 ln x$ 于 $M$ ， $N$ 两点，则 $|M N|$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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