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相关试卷

1、已知定义在 $R$ 上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足 $f^{'} (x) < f (x)$ 且 $f (x + 3)$ 为偶函数. $f (x + 1) - \frac{1}{2}$ 为奇函数，若 $f (9) + f (8) = \frac{3}{2}$ ，则不等式 $f (x) > e^{x}$ 的解集为（　　）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(6, + \infty)$

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2、已知 ${(x + b)}^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，若 $a_{3} = 40$ ，则 $b =$ .

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3、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{B F_{1}} = 0$ ， $\tan ∠ A B F_{1} = \frac{1}{3}$ ，则该双曲线的渐近线方程为．

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4、函数 $y = x + \sqrt{1 - 2 x}$ 的最大值为.

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5、若圆 $C : x^{2} + y^{2} + m x + 4 y - 1 = 0$ 关于直线 $y = 3 x + 1$ 对称，则 $m =$ ．

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6、已知 $\frac{cos α}{cos α - sin α} = 2$ ，则 $tan (α + \frac{π}{4}) - sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{9}{5}$ C、 $\frac{11}{5}$ D、2

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7、椭圆 $\frac{x^{2}}{5} +$ $\frac{y^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ 的长轴长为6，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{31}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{11}}{6}$

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8、已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + 2 y = 1$ ，则 $2 x + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2} - 1$ C、6 D、8

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9、5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（）

A、18 B、36 C、48 D、60

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1，若 $a_{1}, a_{2}, a_{3} + 1$ 成等比数列，则 $a_{4} =$ （）

A、-2 B、4 C、8 D、-2或4

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11、已知 $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位，若复数 $(2 + i) (a + i)$ 的实部与虚部相等，则 $a =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $2$ D、 $3$

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12、已知平面向量 $\vec{a} = (sin θ, 1), \vec{b} = (cos θ, - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $tan θ =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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13、下列选项正确的是（）

A、 $(sin 10^{\circ})^{'} = cos 10^{\circ}$ B、 $(lg x)^{'} = \frac{1}{x}$ C、 $[(2 x + 1) (2 x - 1)]^{'} = 8 x$ D、 $(e^{- x})^{'} = e^{- x}$

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14、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E是 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $B_{1} C / /$ 平面 $A_{1} B D$ B、 $B_{1} C ⊥ B D_{1}$ C、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C E$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ D、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C E$ 的外接球的表面积为 $\frac{41 π}{16}$

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15、折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：如图，用圆形纸片，按如下步骤折纸．
步骤1：设圆心是 $F$ ，在圆内不是圆心处取一点，标记为 $E$ ；
步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点 $E$ ，此时圆周上与点 $E$ 重合的点标记为 $G$ ；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时 $G F$ 与折痕交于点 $P$ ；
步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条折痕和越来越多的交点 $P$ ．
现取半径为4的圆形纸片，定点 $E$ 到圆心 $F$ 的距离为2，按上述方法折纸．以线段 $E F$ 的中点 $O$ 为原点，线段 $E F$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系 $x O y$ ，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $Γ$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、已知点 $M (0, \sqrt{3})$ ，点A，B是曲线 $Γ$ 上两个不同的动点（不在 $y$ 轴上），直线 $M A, M B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - 1$ ，证明：直线 $A B$ 过定点．

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16、已知函数 $f (x) = 2 x \ln x + a x^{2} - x$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $a > 0$ 时， $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数 B、当 $a = 2$ 时， $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{8}{5}$ C、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上为减函数，则 $a \leq - e^{- \frac{3}{2}}$ D、当 $a < 0$ 时，若函数 $F (x) = f (x) + a x$ 有且只有一个零点，则 $a \in (- \frac{2}{5}, - \frac{1}{3})$

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17、已知点 $A (\sqrt{2} ， 1)$ 是离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的一点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、点 $P$ 在椭圆上，点 $A$ 关于坐标原点的对称点为 $B$ ，直线 $A P$ 和 $B P$ 的斜率都存在且不为 $0$ ，试问直线 $A P$ 和 $B P$ 的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；

(3)、斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $△ A M N$ 面积的最大值，并求此时直线 $l$ 的方程．

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形，其中 $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 1$ ， $P A = 2$ ， $E$ 为棱 $B C$ 上的点，且 $B E = \frac{1}{4} B C$ ，点 $Q$ 在棱 $C P$ 上（不与点 $C$ ， $P$ 重合）.

(1)、求证：平面 $D E Q ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求二面角 $A - P C - D$ 的平面角的余弦值；

(3)、直线 $Q E$ 能与平面 $P C D$ 垂直吗？若能，求出 $\frac{C Q}{C P}$ 的值；若不能，请说明理由.

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19、设平面内两个非零向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 的夹角为 $θ$ ，定义一种运算“ $\otimes$ ”： $\vec{m} \otimes \vec{n} = | \vec{m} | | \vec{n} | \sin θ$ ．试求解下列问题：

(1)、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (2, 1), | \vec{b} | = 2, \vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ ，求 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的值；

(2)、①若 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1}), \vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，用坐标 $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ 表示 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ ；
②在平面直角坐标系中，已知点 $A (2, 1), B (- 1, 2), C (0, 4)$ ，求 $\vec{A B} \otimes \vec{B C}$ 的值；

(3)、已知向量 $\vec{a} = (\frac{1}{\cos α}, \frac{2}{\sin α}), \vec{b} = (\frac{2}{\sin α}, - \frac{1}{\cos α}), α \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的最小值．

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20、如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角 $∠ M O N = \frac{π}{4}$ ，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形 $A B C D$ (四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为 $△ D A M$ ，记 $∠ M O D = α .$

(1)、当角 $α$ 取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积.

(2)、若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元 $($ 不计桥的宽度 $)$ ；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围.

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