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相关试卷

1、向量 $\vec{b} = (3, 4)$ 在向量 $\vec{a} = (2, 1)$ 方向上的投影向量的模为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} \sin 2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x$ ，则下列选项错误的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、曲线 $y = f (x)$ 关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 中心对称 C、 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ D、曲线 $y = f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称

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3、若 $α$ 是第一象限角，则下列结论一定成立的是（）

A、 $sin \frac{α}{2} > 0$ B、 $cos \frac{α}{2} > 0$ C、 $tan \frac{α}{2} > 0$ D、 $sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2} < 0$

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4、已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则扇形的面积是（）

A、 $\frac{1}{2} {πcm}^{2}$ B、 $3 {πcm}^{2}$ C、 $\frac{3}{2} {cm}^{2}$ D、 ${πcm}^{2}$

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5、已知函数 $f (x) = \frac{x}{ln x}$ ，若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} + 3 a f (x) - e^{2} - 2 a e$ 恰有3个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{e}{2}, 0)$ B、 $(- \frac{1}{2 e}, 0)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{e})$ D、 $(- \infty, - e)$

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6、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为2，两渐近线的夹角为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程：

(2)、当 $a < b$ 时，记双曲线 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，动直线 $l$ ： $x = m y + 2$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $M$ ， $N$ 两点（异于 $A_{2}$ ），直线 $A_{1} M$ ， $A_{2} N$ 相交于点 $T$ ，证明：点 $T$ 在定直线上，并求出定直线方程．

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 6$ ，且对任意的 $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 2 a_{n} + 3$ .

(1)、设 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列，并求出其的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、若 $c_{n} = \frac{2}{3} a_{n} + \frac{13}{3} n - 2$ ，求 $\{\frac{1}{c_{n}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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8、 ${(1 + x + \frac{1}{x^{2}})}^{3}$ 展开式中的常数项为。

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9、已知曲线 $C : y^{2} + sin x = 5$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $y$ 的范围是 $[- \sqrt{6}, \sqrt{6}]$ B、若 $y > 0$ ，则曲线 $C$ 具有周期性 C、曲线 $C$ 既是轴对称图形又是中心对称图形 D、曲线 $C$ 与圆 $D : x^{2} + y^{2} = 5$ 有公共点

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10、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 定义在 $(0, + \infty)$ 上的导函数，满足 $x^{2} f^{'} (x) + 2 x f (x) = 1$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{f (e)}{e^{2}} > \frac{f (e^{2})}{e}$ B、 $\frac{f (2)}{9} > \frac{f (3)}{4}$ C、 $\frac{f (2)}{e^{2}} < \frac{f (e)}{4}$ D、 $\frac{f (e)}{e^{2}} < \frac{f (3)}{9}$

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11、已知抛物线C： $y^{2} = 16 x$ 的焦点为F，过点 $A (7, 1)$ 作直线l； $x + a y - 2 y - 7 a + 4 = 0$ 的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则 $|P F| + |P B|$ 的最小值为（）

A、 $14 - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{25}{2}$ C、14 D、 $\frac{25 - 3 \sqrt{5}}{2}$

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12、已知m、n是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ∥ β$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $α ⊥ β$ ，则 $β ⊥ γ$ D、若 $m ⊥ β$ ， $m ∥ α$ ，则 $α ⊥ β$

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13、已知集合 $A = \{y |y = {log}_{\frac{1}{2}} x, x > \frac{1}{2}\}, B = \{y ∣ y = 2^{x}, x \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${y ∣ y < 1}$ B、 ${y ∣ 0 < y < 1}$ C、 ${y ∣ 0 < y \leq 1}$ D、 $\{y ∣ y > 1\}$

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14、设复数 $z = 1 + i$ （ $i$ 为虚数单位）， $z$ 的共轭复数是 $\bar{z}$ ，则 $\frac{2 - 2 \bar{z}}{z} =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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15、下列说法正确的是（）

A、各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B、球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C、以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D、用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台

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16、如图，在三棱台 $A B C - D E F$ 中， $A B < D E$ ， $△ A E F$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形，且 $C E = \sqrt{15}$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A C ⊥ A D$ ， $∠ B A C = 120^{\circ}$ .

(1)、证明：平面 $A D E B ⊥$ 平面 $E D F$ ；

(2)、求 $A B$ 的长；

(3)、求二面角 $A - E F - B$ 的余弦值.

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17、记 $△ A B C$ 中的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $4 b \cos A - 2 a \cos B = c$ ．

(1)、证明： $A = B$ ；

(2)、若 $c = 3$ ，且 $B C$ 边上的中线的长度为 $\frac{\sqrt{34}}{2}$ ，求a的值．

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18、把 $y = \sin x$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度，得到 $y = f (x)$ 的图象.

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[0, θ) (θ > 0)$ 上存在最小值，求 $θ$ 的取值范围.

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19、近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2026年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249.

(1)、求这5个数据的60%分位数及平均数；

(2)、从这5个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这5个数据的平均数的概率.

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20、已知向量 $\vec{a} = (2, 5)$ ， $\vec{b} = (1, x)$ .

(1)、若 $x = 2$ ，求 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为锐角，求 $x$ 的取值范围.

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