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相关试卷

1、某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入 $3$ 个红球和 $3$ 个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则如下：从袋中一次性摸出 $3$ 个球，把白球换成红球再全部放回箱中，设此时箱中红球个数为 $X$ ，则每位员工颁发奖金 $X$ 万元.

(1)、求 $X$ 的分布列与数学期望；

(2)、若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ， $μ$ 为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为 $100$ 万元， $σ^{2}$ 为数据的方差，计算结果为 $225$ 万元，为激励为企业做出突出贡献的员工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于 $115$ 万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）.
参考数据：若随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ .

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2、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是直角梯形， $A B / / D C$ ， $∠ A B C = 45^{\circ}$ ， $D C = 1$ ， $A B = 2$ ， $P A ⊥$ 平面ABCD， $P A = 1$ .

(1)、求证： $A B / /$ 平面PCD；

(2)、若M是PC的中点，求PC与平面ADM所成角的正弦值.

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 16$ ， $S_{6} = 51$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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4、甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为 $p_{n}$ ，则 $p_{1} =$ ； $p_{n} =$ .

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5、若 $C_{20}^{2 n + 6} = C_{20}^{n + 2} (n \in N)$ ，记 ${(2 - x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots a_{n} x^{n}$ ，则 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - \dots + {(- 1)}^{n} a_{n} =$ .

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6、离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，一个焦点坐标为 $(2, 0)$ 的双曲线的标准方程为.

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7、假设某市场供应的N95口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
$50 %$
$30 %$
$20 %$
优质率
$80 %$
$90 %$
$70 %$
在该市场中任意买一 $N 95$ 口罩，用 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 分别表示买到的口罩为甲品牌､乙品牌､其他品牌， $B$ 表示买到的是优质品，用 $P (A)$ 表示事件 $A$ 发生的概率，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A_{1}) = 40 %$ B、 $P (B A_{2}) = 27 %$ C、 $P (B) = 81 %$ D、 $P (A_{2} ∣ B) = \frac{1}{3}$

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8、已知直线 $l : y = 2 x - 1$ ，则下列说法错误的是（）

A、直线l的纵截距是1 B、点 $P (5, m)$ 在直线l上，则 $m = 9$ C、直线l与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切 D、直线l与直线 $y = 2 x + 4$ 间的距离为 $\sqrt{5}$

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9、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，得到的图象关于原点对称 D、 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P是椭圆C上的动点， $m = |P F_{1}|$ ， $n = |P F_{2}|$ ，则 $\frac{4 m + n}{m n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{8}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{20 - 3 \sqrt{7}}{9}$ D、 $\frac{20 + 3 \sqrt{7}}{9}$

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11、某次调研测试中，考生成绩X服从正态分布 $N (75, σ^{2})$ .若 $P (60 \leq X \leq 90) = \frac{3}{5}$ ，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $b = 2 a \cos C$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

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13、光正实验学校高二年级拟举行“诗词”、“历史”、“地理”三场不同主题的知识竞答活动，要求各班各派3名学生分别参加这三个主题的竞答.某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中选派3位，已知甲不参加“诗词”主题的竞答活动，则该班不同的选派方法有（）

A、9种 B、12种 C、15种 D、18种

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14、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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15、已知集合 $M = \{x |x^{2} + 2 x - 3 < 0\}$ ， $N = \{x |- 1 \leq x < 4\}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(- 3, 4)$ B、 $[- 1, 1)$ C、 $(- 3, - 1] \cup (1, 4)$ D、 $(- 3, 1) \cup (1, 4)$

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16、已知复数 $z_{1} ， z_{2}$ 满足 $|z_{1}| = 1 ， |z_{2}| = 2 ， |z_{1} - z_{2}| = \sqrt{7}$ ，则 $|z_{1} + z_{2}|$ 的值为．

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17、已知函数 $f (x) = x ln x - \frac{1}{2} a x^{2}$ ，

(1)、若 $y = x$ 与 $f (x)$ 的图象恰好相切，求实数 $a$ 的值；

(2)、 $a = 0$ 时，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > \frac{x}{e^{x}} - \frac{2}{e}$

(3)、若 $h (x) = a f (x) + a ln x + \frac{1}{2} a^{2} x^{2} - x + 1$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ．
（ⅰ）求实数 $a$ 的取值范围；
（ⅱ）求证： $(3 a - 1) (x_{1} + x_{3} + 2) < 2$ ．

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} = 6 a_{n + 1} - 9 a_{n} (n \in N_{*})$ ，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{2} = 18$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n + 1} - 3 a_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、若数列 $\{\frac{2 a_{n} + 3^{n + 1}}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $c_{n} = (n + 1) (\frac{1}{3} - S_{n}) (n \in N_{*})$ 证明：数列 $\{c_{n}\}$ 中任意不同的三项都不能构成等差数列．

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19、25人排成 $5 \times 5$ 方队，现从中选3人，要求3人既不在同一行也不在同一列，则不同的选法有种．

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20、若 $1 + \sqrt{2} i$ 是关于 $x$ 的实系数方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的一个复数根，则 $b =$ .

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品牌	甲	乙	其他
市场占有率	$50 %$	$30 %$	$20 %$
优质率	$80 %$	$90 %$	$70 %$