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相关试卷

1、某学校高三年级组织了一场校内知识挑战赛，共有5个班级参与，每个班级推选1名学生代表参加，其中1名学生代表来自A类班级，4名学生代表来自B类班级，学生甲是B类班级代表之一.在某一轮比赛中，随机选择两名学生代表进行比赛.若是同类班级代表比赛，则双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；若是A类班级代表与B类班级代表比赛，则B类班级代表获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ .

(1)、已知学生甲参赛，求在一轮比赛中，学生甲获胜的概率；

(2)、若每两个班级代表各进行一轮比赛，记B类班级代表甲获胜的轮数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $cos B = \frac{b}{c} = \frac{a + b}{2 c}$ .

(1)、证明： $a = c cos B$ .

(2)、求 $C$ .

(3)、若 $a = 3, D$ 为 $A B$ 上靠近点 $A$ 的三等分点，作 $B E ⊥ C D$ 交 $C D$ 于点 $E$ ，求 $cos ∠ E B D$ .

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3、现从一含10个元素的集合 $S$ 的子集中随机选出2个不同的子集，被选出的子集之间必须满足包含或被包含的关系，则满足该选取条件的选法有种.

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4、函数 $f (x) = |ln x| + 2 x$ 的最小值为.

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5、已知 $P$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 上的动点， $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，且 $|P A| + |P B| = 6$ ，则 $n =$ .

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6、如图，在 $4 \times 4$ 的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化.
例如：
4
4
1
3
4
3
2
1
1
2
3
2
2
1
4
3
下列 $4 \times 4$ 的方格中，哪些图形可由上图经过4次移动得到（）

A、
4
4
1
3
4
3
2
1
1
2
3
2
2
1
4
3
B、
4
2
4
3
1
1
1
1
2
4
2
2
4
3
3
3
C、
3
4
4
4
1
3
1
1
2
2
2
2
4
1
3
3
D、
4
4
1
3
4
3
4
1
3
2
1
2
2
1
2
3

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7、如图，在圆柱 $O_{1} O_{2}$ 中，轴截面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $M$ 是以 $A O_{2}$ 为直径2的圆上一动点（异于点 $A, O_{2}$ ）， $A M$ 与圆柱的底面圆交于点 $N$ ，则（）

A、 $M O_{2}$ $∥$ 平面 $N B O_{1}$ B、平面 $M O_{1} O_{2} ⊥$ 平面 $A N O_{1}$ C、直线 $N B$ 与直线 $A O_{1}$ 有可能垂直 D、三棱锥 $M - A O_{1} O_{2}$ 的外接球体积为定值

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8、某研究机构在训练人工智能模型时，有两种训练算法甲和乙，使用算法甲训练了30次，每次训练耗时的平均数为2，方差为0.25，使用算法乙训练了20次，每次训练耗时的平均数为1.5，方差为0.3，则（）

A、总体每次训练平均耗时1.8小时 B、总体每次训练平均耗时1.75小时 C、总体每次训练耗时的方差为0.28 D、总体每次训练耗时的方差为0.33

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9、如图， $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点 $A, B$ 都在双曲线 $C$ 上，四边形 $A B F_{2} F_{1}$ 为等腰梯形，且 $|A F_{1}| = |F_{1} F_{2}| = |B F_{2}| = 2 c$ ， $∠ A B F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3} + 1$

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10、函数 $y = sin 2 x$ 与 $y = sin \frac{x}{2}$ 的图象在区间 $[- 2 π, 2 π]$ 上的交点个数为（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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11、已知数列 $\{{log}_{2} a_{n} + 1\}$ 是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前10项和为（）

A、 $2^{10} - 1$ B、 $\frac{4^{10} - 1}{3}$ C、 $2^{11} - 2$ D、 $\frac{2^{21} - 2}{3}$

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12、若 $sin α = cos α + \frac{3}{5}$ ，则 $tan α + \frac{1}{tan α} =$ （）

A、 $\frac{8}{25}$ B、 $\frac{16}{25}$ C、 $\frac{25}{8}$ D、 $\frac{25}{16}$

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13、如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 的起点和终点均在格点上，则向量 $\vec{b} + \vec{c}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a}$ C、 $\frac{3}{2} \vec{a}$ D、 $- \vec{a}$

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{a}, x \geq 0, \\ a^{x}, x < 0, \end{matrix}$ 且 $f (16) = 2$ ，则 $f (- 1) =$ （）.

A、 $\frac{1}{2}$ . B、 $\frac{1}{4}$ . C、2. D、4.

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15、若 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $z^{2} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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16、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1\}, B = {x ∣ x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 1\}$

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17、已知某篮球队有五名队员，其中甲是主要得分手，乙是组织后卫.如果球在乙手中，则他传球给甲的概率为 $\frac{1}{2}$ ，传球给其他队员的概率均为 $\frac{1}{6}$ ；如果球不在乙手中，则这名队员传球给任何队友的概率都是 $\frac{1}{4}$ .开始进攻时，球在乙手中.

(1)、求经过2次传球并由甲执行投篮的条件下，球有经过丙之手的概率；

(2)、经过 $n$ 次传球后，球回到乙手中的概率；

(3)、记经过 $n$ 次传球后，球到甲的手中的概率为 $P_{n}$ ，求证：满足 $P_{n} > \frac{6}{25}$ 的 $n$ 的个数不少于满足 $P_{n} < \frac{6}{25}$ 的 $n$ 的个数.

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18、函数 $f (x) = x ln x - a {(ln x)}^{2} - x + m a$ ，其中 $a > 0$ ， $m \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $a = \frac{1}{2 e}$ ，函数 $f (x)$ 有且只有一个零点，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若 $a > \frac{1}{e}$ ， $A = {m| f (a) < 0}$ ， $B = {m| f (1) < 0}$ ，求证： $B \subseteq A$ .

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $P A ⊥$ 平面 $P B D$ ， $P A = P D$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点， $D E = A E$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A D = B D = 2$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C E$ 所成的锐二面角的余弦值.

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = x$ ，过点 $M (3, 0)$ 的直线 $l$ 与双曲线的右支于 $D$ 、 $E$ 两点，点 $A, F$ 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且 $F$ 到渐近线的距离为1， $△ A D E$ 为直角三角形.

(1)、求双曲线的方程；

(2)、求 $△ A D E$ 的面积 $S$ .

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