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相关试卷

1、如图，宽为 $a$ 的走廊与另一宽为 $b$ 的走廊垂直相连，两走廊交汇处形成直角拐点M.细杆 $A B$ 需保持水平状态通过拐点M，且在移动过程中两端始终与两侧墙壁保持接触.设细杆与外侧走廊的夹角 $∠ A B O = θ$ ， $θ \in (0, \frac{π}{2})$ .

(1)、设细杆 $A B$ 的长度为 $f (θ)$ ，求 $f (θ)$ 的表达式；

(2)、若 $a = 1$ ， $b = 2$ ，试问：长度为5的细杆能否水平地通过拐角?请说明理由；

(3)、若 $a = b$ ，试问：长度为 $2 \sqrt{2} a$ 的细杆能否水平地通过拐角?请说明理由.

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2、如图1，内壁光滑且透明的正方体容器 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内注有一定量的水，已知正方体容器棱长为4，容器厚度不计.当其水平放置时，水面恰好过 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点E，F，G，H.现在固定容器一边 $B C$ 于水平地面，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，水面的形状也不同.容器绕 $B C$ 从图1的放置状态旋转至水面第一次过棱 $A D$ 的过程中（不包括起始和终止位置），水面与棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 分别交于点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ .假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动.

(1)、证明： $A A_{2} + B B_{2}$ 是定值；

(2)、已知水面 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 是矩形面，求水面 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 面积的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - 2 x) - \cos (2 x + \frac{π}{3}) + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、记锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $f (\frac{A}{2}) = 2$ ， $a = 1$ ， $b^{2} + c^{2} = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A B / / C D$ ， $A B = 2 C D$ ， $A C \cap B D = E$ ，点 $F$ 在棱 $P C$ 上，且 $P F = 2 F C$ .

(1)、证明： $P A / /$ 平面 $B D F$ ；

(2)、若 $B C = D C = 6$ ，三棱锥 $B - C D F$ 的体积为6，求点 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离.

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, x)$ ， $\vec{c} = (2, y)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ .

(1)、求向量 $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{m} = - 2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{n} = \vec{a} + \vec{c}$ .
（i）求 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角 $θ$ ；
（ii）求向量 $\vec{m}$ 在向量 $\vec{n}$ 上的投影向量的坐标.

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6、定义平面非零向量之间的一种运算“*”，记 $\vec{a} * \vec{b} = (\cos θ) \cdot \vec{a} + (\sin θ) \cdot \vec{b}$ （其中 $θ$ 是非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角），若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 均为单位向量，且 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = - \frac{1}{2}$ ，则 $|(4 \vec{e_{1}}) * (2 \sqrt{3} \vec{e_{2}})| =$ .

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7、已知a，b，c分别是 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边，若 $\sin^{2} B = 2 \sin A \sin C$ ， $a = c$ ，则 $C =$ .

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8、复数 $\frac{1}{1 - i}$ 的实部是.

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9、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $M, N, P$ 分别是棱 $C_{1} D_{1}$ ， $A A_{1}$ ， $B C$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{C Q} = λ \vec{C C_{1}}$ ， $λ \in (0, 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P Q / /$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ B、若Q，M，N，P四点共面，则 $λ = \frac{1}{4}$ C、过点Q有且仅有一条直线与 $D B_{1}$ ， $A A_{1}$ 都相交 D、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，点F在侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 上（包括边界），且 $A_{1} F / /$ 平面 $A P Q$ ，则点F的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{13}}{3}$

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10、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - π < φ < 0)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是π B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5 π}{6}, 0)$ 对称 C、 $f (0) = - 1$ D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{12}, \frac{π}{2})$ 上的值域为 $[- 2, \sqrt{3})$

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11、如图，已知圆台上，下底面的圆心分别为 $O_{1}$ ， $O_{2}$ ，半径分别为2和4，高为 $2 \sqrt{3}$ ，四边形 $A B C D$ 为圆台 $O_{1} O_{2}$ 的轴截面，则（）

A、圆台的母线长为6 B、圆台的体积为 $\frac{56 \sqrt{3} π}{3}$ C、圆台的侧面积为24π D、圆台外接球的半径为4

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12、已知函数 $f (x) = \cos (2 x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ ，且对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) \leq f (\frac{5 π}{6})$ 恒成立，若函数 $y = f (x)$ 在 $[0, a]$ 单调递减，则 $a$ 的最大值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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13、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ，半径为1，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ， $|\vec{A B}| = |\vec{A C}|$ ，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的值为（）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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14、已知一个圆锥的底面半径为 $3$ ，其体积为 $12 π$ ，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $6 π$ B、 $9 π$ C、 $12 π$ D、 $15 π$

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15、将函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，所得图象对应的函数为（）

A、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ B、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{12})$ D、 $y = \sin 2 x$

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16、若 $\cos α = - \frac{3}{5}$ ， $α$ 是第三象限的角，则 $\sin (π - α) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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17、 $\vec{P M} - \vec{P N} + \vec{M N} =$ （）

A、 $2 \vec{M N}$ B、 $2 \vec{N M}$ C、 $\vec{P M}$ D、 $\vec{0}$

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18、设 $a + 3 i = (b + i) i$ ，其中a，b为实数，则（）

A、 $a = 1$ ， $b = - 3$ B、 $a = - 1$ ， $b = 3$ C、 $a = - 1$ ， $b = - 3$ D、 $a = 1$ ， $b = 3$

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19、某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为.（用数字作答）

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20、如图，在四棱锥 $O - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形．
（1）设 $M$ 为 $O A$ 上靠近 $A$ 的三等分点， $N$ 为 $B C$ 上靠近 $B$ 的三等分点．求证： $M N / /$ 平面 $O C D$ ．
（2）设 $E$ 是 $O D$ 上靠近点 $D$ 的一个三等分点，试问：在 $O D$ 上是否存在一点 $F$ ，使 $B F //$ 平面 $A C E$ 成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由．

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