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相关试卷

1、已知一个圆锥的底面半径为 $3$ ，其体积为 $12 π$ ，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $6 π$ B、 $9 π$ C、 $12 π$ D、 $15 π$

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2、将函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，所得图象对应的函数为（）

A、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ B、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{12})$ D、 $y = \sin 2 x$

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3、若 $\cos α = - \frac{3}{5}$ ， $α$ 是第三象限的角，则 $\sin (π - α) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4、 $\vec{P M} - \vec{P N} + \vec{M N} =$ （）

A、 $2 \vec{M N}$ B、 $2 \vec{N M}$ C、 $\vec{P M}$ D、 $\vec{0}$

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5、设 $a + 3 i = (b + i) i$ ，其中a，b为实数，则（）

A、 $a = 1$ ， $b = - 3$ B、 $a = - 1$ ， $b = 3$ C、 $a = - 1$ ， $b = - 3$ D、 $a = 1$ ， $b = 3$

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6、某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为.（用数字作答）

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7、如图，在四棱锥 $O - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形．
（1）设 $M$ 为 $O A$ 上靠近 $A$ 的三等分点， $N$ 为 $B C$ 上靠近 $B$ 的三等分点．求证： $M N / /$ 平面 $O C D$ ．
（2）设 $E$ 是 $O D$ 上靠近点 $D$ 的一个三等分点，试问：在 $O D$ 上是否存在一点 $F$ ，使 $B F //$ 平面 $A C E$ 成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由．

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8、如图，已知四面体 $P A B C$ 的棱长均为6，棱 $P A, P B, P C$ 的中点分别为 $D, E, F$ ，用平面 $D E F$ 截四面体 $P A B C$ ，得到三棱台 $D E F - A B C$ .

(1)、求三棱台 $D E F - A B C$ 的体积；

(2)、若 $M$ 为棱 $B C$ 上的动点，求 $E M + M A$ 的最小值，并求取最小值时线段 $B M$ 的长度.

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9、在 $Δ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是三内角 $A, B, C$ 的对边，若满足条件 $c = 4, ∠ B = 60^{\circ}$ 的三角形的解有两个，则 $b$ 的长度范围是（　　）

A、 $(0, 2)$ B、 $(2, 4)$ C、 $(2 \sqrt{3}, 4)$ D、 $(4, + \infty)$

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10、如图所示，点 $E$ 为 $△ A B C$ 的边 $A C$ 的中点， $F$ 为线段 $B E$ 上靠近点B的三等分点，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ B、 $\frac{4}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ C、 $- \frac{5}{6} \vec{B A} + \frac{1}{6} \vec{B C}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$

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11、已知复数z满足 $z (1 + i) = |1 - i|$ ， $i$ 为虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $i$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$

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12、如图1，在矩形ABCD中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， M是边BC上的一点，将 $△ A B M$ 沿着AM折起，使点B到达点P的位置.

(1)、如图2，若M是BC的中点，点N是线段PD的中点，求证： $C N ∥$ 平面PAM；

(2)、如图3，若点P在平面AMCD内的射影H落在线段AD上.
①求证： $C D ⊥$ 平面PAD；
②求点M的位置，使三棱锥 $P - H C D$ 的外接球的体积最大，并求出最大值.

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13、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .且满足 $cos C + 2 cos B cos (\frac{π}{3} + A) = 0$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、已知 $△ A B C$ 的外接圆的圆心为 $O$ ，半径 $R = \sqrt{3}$ .
（i）作角 $B$ 的平分线交 $A C$ 于 $D$ ， $B D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积；
（ii）若 $\vec{O B} = m \vec{O A} + n \vec{O C} (m, n \in R)$ ，求 $m + n$ 的取值范围.

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14、某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从 $A$ 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从 $B$ 类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对 $A, B$ 类每个问题的答对的概率均为0.5.在 $A$ 类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在 $B$ 类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.

(1)、求小明在第一轮得40分的概率；

(2)、求小红两轮总分得60分的概率；

(3)、试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？

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15、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的各个顶点均在球 $O$ 的表面上，且 $A B = A D = 4, B C ⊥ C D, P B ⊥$ 平面 $P A D$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求四棱锥 $P - A B C D$ 体积的最大值；

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16、在 $△ A B C$ 中， $a^{2} = b^{2} - c^{2} + \frac{2}{3} a c$ .

(1)、求 $\sin B$ 的值；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{6}$ ，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在，求 $△ A B C$ 的面积.
条件①： $c = 2 \sqrt{7}$ ；条件②： $a \sin A = \sqrt{3}$ ；条件③： $\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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17、在平面四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点，若 $A B = 4$ ， $C D = 2$ ，且 $\vec{E F} \cdot \vec{A B} = 9$ ，则 $|\vec{E F}| =$ ．

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18、一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球个.

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19、若向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (λ, 1)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ =$ .

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20、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E, F, G$ 分别是棱 $A D, C C_{1}, C_{1} D_{1}$ 的中点，下列结论正确的是（）

A、 $E F ⊥ B_{1} C$ B、直线 $F G$ 与直线 $A_{1} D$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ C、三棱锥 $B - E F G$ 的体积为 $\frac{5}{6}$ D、过 $E, F, G$ 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形

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