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相关试卷

1、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ A C, A B = 2 A C = 2 A A_{1}$ ， E，F分别为棱AB，BC的中点．

(1)、证明： $B_{1} E ⊥$ 平面 $A_{1} E F$ ．

(2)、求平面 $A_{1} E F$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值．

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2、已知函数 $f (x) = x^{3} + \frac{48}{x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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3、若函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} s i n ω x (ω > 0)$ 的图象与函数 $g (x) = \frac{f^{'} (x)}{ω}$ 的图象的任意连续三个交点的连线构成一个等腰直角三角形，则 $ω =$ ．

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4、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，对于任意的 $x_{1} > x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) > 4 (x_{1} - x_{2})$ ，且 $f (2) = 16$ ，则不等式 $4 x - 8 < f (x) < 4 x$ 的解集为．

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5、已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，且 $(\vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot \vec{b} = - 2$ ，则 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为．

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6、一次期中考试后，某校高三年级选取了（1）班、（2）班、（3）班进行成绩分析，经统计得到这三个班每班学生的数学成绩的优秀率（成绩不低于120分的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示：
班级
（1）
（2）
（3）
优秀率
$75 %$
$70 %$
$80 %$
则下列结论正确的是（）

A、（3）班学生的数学成绩的优秀率最高 B、这三个班学生的数学成绩的优秀率为 $75 %$ C、（2）班学生的人数一定最多 D、若把（1）班和（3）班学生的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为 $78 %$ ，则（1）班人数比（3）班人数少

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7、已知某圆台的轴截面ABCD是等腰梯形， $A D / / B C, B C = 2 A D = 12, A B = 5$ ，则该圆台的体积为（）

A、 $60 π$ B、 $84 π$ C、 $168 π$ D、 $252 π$

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8、已知点 $A (2, y_{0}) (y_{0} > 0)$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，F是抛物线C的焦点．若 $| A F | = 4$ ，则 $y_{0} =$ （）

A、4 B、2 C、8 D、 $2 \sqrt{2}$

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9、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线的方程为 $y = 2 \sqrt{2} x$ ，则双曲线C的焦距为（）

A、3 B、6 C、4 D、8

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10、已知集合 $A = {x ∣ x - 2 < 0}, B = {x ∣ 0 \leq 4 - x \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(2, 4]$ B、 $[- 1, 2)$ C、 $[1, 4]$ D、 $[1, 2)$

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{4}$ ， $A D = 2 D B$ ， $P$ 为 $C D$ 上一点，且满足 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，若 $A C = 3$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{C D}$ 值为（）

A、 $- \frac{17}{12}$ B、 $\frac{21}{4}$ C、 $\frac{13}{12}$ D、 $- \frac{19}{12}$

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12、设 $A, B$ 两点的坐标分别为 $(- 2, 0), (2, 0)$ ，直线 $A P, B P$ 相交于点 $P$ ，且它们的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ，设点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $Q (1, 0)$ ，与 $E$ 交于 $C, D$ 两点， $C$ 在 $x$ 轴上方，直线 $A C, B D$ 交于点 $M$ ，直线 $A D$ ， $B C$ 交于点 $N$ .
（i）求 $|M N|$ 的最小值；
（ii）设直线 $A C$ 与直线 $x = 2$ 相交于点 $G, B G$ 中点为 $H, B T ⊥ Q H, B T$ 交 $l$ 于点 $T$ ，证明：直线 $T H$ 与定圆相切.

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13、“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地 $1$ 万平方千米，其中 $70 %$ 是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的 $16 %$ 改造为绿洲，同时原有绿洲的 $4 %$ 被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第 $n$ 年绿洲面积为 $a_{n}$ 万平方千米．

(1)、求 $a_{n}$ 与 $a_{n - 1} (n \geq 2)$ 的关系；

(2)、判断 $\{a_{n} - \frac{4}{5}\}$ 是不是等比数列，并说明理由；

(3)、至少经过几年，绿洲面积可超过 $60 %$ ？ $(\lg 2 \approx 0.301)$

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14、在复平面内，复数 $z = (m^{2} - 2 m - 8) + (m^{2} + 3 m - 10) i$ ， $m \in R$ ．

(1)、若复数 $z$ 对应的点在虚轴上，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若复数 $z$ 对应的点在第二象限或第四象限，求实数 $m$ 的取值范围．

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15、已知某工厂生产 $A, B, C$ 三种型号的零件，这三种型号的零件周产量之比为 $2 : 3 : 5$ ，现在用分层抽样的方法从某周生产的零件中抽取若干个进行质量检查，若抽取 $B$ 型号零件15个，则这三种型号的零件共抽取的个数为．

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16、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ ， $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 是椭圆C上两点， $x_{1} - y_{1} = x_{2} - y_{2} = \frac{1}{2}$ ，则弦 $A B$ 长为．

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17、若 $\cos 2 A = \frac{7}{25}$ ， $\sin B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $A \in (0, \frac{π}{2}), B \in (0, \frac{π}{2})$ ，则（）

A、 $A > \frac{π}{6}$ B、 $A > 2 B$ C、 $B < A$ D、 $A + B < \frac{π}{3}$

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18、下列说法中，正确的是（　　）

A、存在一个实数 $x_{0}$ ，使 $- 2 x_{0}^{2} + x_{0} - 4 = 0$ B、所有的素数都是奇数 C、至少存在一个正整数，能被5和7整除 D、所有的矩形都是平行四边形

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19、在一次考试后的数学成绩分析中，分别采用简单随机抽样的方式抽取 $A$ 班的一组数据： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ ， $a_{6}$ 和 $B$ 班的一组数据： $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， $b_{4}$ 进行分析.经计算，两组数据的平均数分别为 $\bar{a} = 90$ ， $\bar{b} = 80$ ，方差分别为 $s_{a}^{2} = 36$ ， $s_{b}^{2} = 16$ .将两组数据合并为一组数据 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \dots, c_{9}, c_{10}$ ，则这组新数据的平均数和方差分别为（）

A、平均数为85 B、平均数为86 C、方差为28 D、方差为52

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20、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ），若四个点 $A_{1} (3, 1)$ ， $A_{2} (2, 1)$ ， $A_{3} (- 3, - 1)$ ， $A_{4} (\frac{\sqrt{6}}{\cos θ}, b \tan θ)$ （ $θ \neq \frac{π}{2} + k π$ ， $k \in Z$ ）中有三个点在C上，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$

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班级	（1）	（2）	（3）
优秀率	$75 %$	$70 %$	$80 %$