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相关试卷

1、不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对 $A, B$ 两款不同 $A I$ 大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

甲学院
乙学院

使用
不使用
使用
不使用
A款
40人
80人
60人
20人
$B$ 款
70人
50人
30人
50人
假设所有学生对 $A, B$ 两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率．

(1)、分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率；

(2)、从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用 $A$ 款大模型的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ；

(3)、从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用 $B$ 款大模型的人数为 $Y_{1}$ ，其方差估计值为 $D (Y_{1})$ ，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用 $B$ 款大模型的人数为 $Y_{2}$ ，其方差估计值为 $D (Y_{2})$ ，比较 $D (Y_{1})$ 与 $D (Y_{2})$ 的大小．

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2、若命题“ $\forall x \in R, x^{2} + a + 1 \neq 0$ ”的否定是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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3、已知集合 $A = \{1, 2\}, B = \{x |- 1 < x < 6, x \in N\}$ ，则满足条件 $A ⫋ C \subseteq B$ 的集合C的个数为（）

A、3 B、5 C、7 D、15

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4、已知 $x < 0, 0 < y < 1$ ，则（）

A、 $x y^{2} < x y < x$ B、 $x y < x < x y^{2}$ C、 $x < x y < x y^{2}$ D、 $x y^{2} < x < x y$

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5、若全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |1 < x \leq 3\}, B = \{x |2 \leq x < 4\}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $\{x |1 < x < 3\}$ B、 $\{x |2 \leq x < 3\}$ C、 $\{x |2 < x < 3\}$ D、 $\{x |1 < x < 2\}$

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6、已知空间向量 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - 2, 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是.

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7、刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 $2 π$ 与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 $\frac{π}{3}$ .故其各个顶点的曲率均为 $2 π - 3 \times \frac{π}{3} = π$ .如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，N，M分别为AB， $C C_{1}$ 的中点，且 $A B = A C$ .

(1)、当点A的曲率为 $\frac{2 π}{3}$ 时证明：
①CN⊥平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；
②平面 $A M B_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ .

(2)、当点A的曲率为 $\frac{π}{2}$ 时，若 $A A_{1} = 2 A B$ ，求二面角 $A - M B_{1} - A_{1}$ 的正弦值.

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8、如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A₁B₁的中点，F是BB₁上的动点，AB₁ ， DF交于点E，要使AB₁⊥平面C₁DF，则线段B₁F的长为．

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9、已知△ABC和点M满足 $\overset{⇀}{M A} + \overset{⇀}{M B} + \overset{⇀}{M C} = \overset{⇀}{0}$ .若存在实数m使得 $\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C} = m \overset{⇀}{A M}$ 成立，则m＝.

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10、某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
等待时间/分
$[0, 5)$
$[5, 10)$
$[10, 15)$
$[15, 20)$
$[20, 25]$
频数
$4$
$8$
$5$
$2$
$1$
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值 $\bar{x} =$ ，病人等待时间方差的估计值 $s^{2} =$ .

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11、已知某班n名学生的数学测试成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中 $a + c = 2 b$ ，且成绩在 $[90, 100]$ 内的有5人，则（）

A、 $a = 0.005$ B、 $b = 0.01$ C、 $c = 0.015$ D、 $n = 50$

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12、如图所示，正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 的中点，将此正方形沿 $E F$ 折成直二面角后，异面直线 $A F$ 与 $B E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) = - 17$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{2}$

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14、已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为 $3 c m$ ，侧面的对角线长是 $3 \sqrt{5} c m$ ，则这个正四棱柱的表面积为

A、 $90 c m^{2}$ B、 $36 \sqrt{5} c m^{2}$ C、 $72 c m^{2}$ D、 $54 c m^{2}$

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15、用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为 $2 \sqrt{2}$ cm² ，则原平面图形的面积为(　　)

A、4 cm² B、 $4 \sqrt{2}$ cm² C、8 cm² D、 $8 \sqrt{2}$ cm²

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16、已知复数 $z = - 1 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则其共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设 $P$ 是 $△ A B C$ 内一点，若 $∠ P A B = ∠$ $P B C = ∠ P C A = θ$ ，则称点 $P$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡点，角 $θ$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡角.如图，在 $△ A B C$ 中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积为 $S$ ，点 $P$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡点，其布洛卡角为 $θ$ ，请完成以下各题：

(1)、若 $∠ A B C = \frac{π}{2}, A C = 2, A B = 1$ ，求 $\tan θ$ ；

(2)、已知 $θ = \frac{π}{6}$ ，
①若 $S = \sqrt{3}$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的值；
②若 $a = 2$ ，求S.

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18、如图（1），在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, ∠ A B C = \frac{π}{2}, A B = B C = 2 A D = 4, E, F$ 分别是 $A B ， C D$ 的中点，沿 $E F$ 将梯形 $A B C D$ 翻折，使 $A B = 2$ ，如图（2）.

(1)、证明：平面 $E F C B ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求点 $E$ 到平面 $A B F$ 的距离；

(3)、求 $C D$ 与平面 $B C F E$ 所成角的正切值.

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19、 $△ A B C$ 中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 $c \cos B + \frac{\sqrt{3}}{3} b \sin C - a = 0$ ，

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，且AB边上的高为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长.

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20、一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去100天的日销售量（单位： $kg)$ ，将全部数据按区间 $[50, 60), [60, 70), \dots, [90, 100]$ 分成5组，得到下图所示的频率分布直方图.

(1)、求图中 $a$ 的值；并估计该水果店过去100天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、若一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能 $88 %$ 地满足顾客的需要（在100天中，大约有88天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少苹果？

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	甲学院		乙学院
	使用	不使用	使用	不使用
A款	40人	80人	60人	20人
$B$ 款	70人	50人	30人	50人

等待时间/分	$[0, 5)$	$[5, 10)$	$[10, 15)$	$[15, 20)$	$[20, 25]$
频数	$4$	$8$	$5$	$2$	$1$