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1、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ 单调递增，且 $f (x + \frac{1}{2})$ 为偶函数，若 $m > 0$ ， $n > 0$ ， $m \neq 3 n$ ，且有 $f (m) = f (3 n)$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{3 m}{n}$ 的最小值为.

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2、奇函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, + \infty)$ 的减函数，若 $f (3 a - 1) + f (2 a - 4) > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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3、若 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(x - 1)}^{2}, x \leq 0 \\ x + 1, 0 < x \leq 2 \\ \frac{6}{x}, x > 2 \end{array}$ ，则下列选项中正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的单调增区间为 $[1, 2]$ B、 $y = f (x)$ 与 $y = a, a \in R$ 的图象有三个交点，则 $a \in (1, 3)$ C、 $1 \leq f (x) \leq 4$ 的解集是 $[- 1, 6]$ D、 $0 < f (f (x)) \leq 1$ 的解集是 $(- \infty, 1 - \sqrt{6}]$

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4、下列各结论中正确的是（）

A、“ $x y > 0$ ”是“ $\frac{x}{y} > 0$ ”的充要条件 B、 $\sqrt{x^{2} + 6} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 6}}$ 的最小值为2 C、函数 $y = x^{2} + (1 + m) x + 2$ 在区间 $(- \infty, 2]$ 上单调递减，则实数 $m$ 的取值范围是 $m \leq - 5$ D、“ $x + 4 \neq 0$ ”是“ $x^{2} + x - 12 \neq 0$ ”的必要不充分条件

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5、已知 $1 < a < 2$ ， $3 < b < 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $4 < a + b < 6$ B、 $- 3 < a - b < - 1$ C、 $3 < a b < 8$ D、 $\frac{1}{3} < \frac{b}{a} < \frac{1}{2}$

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6、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2$ ， $g (x) = k x$ （ $x \in R$ ），用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较大者，记为 $M (x) = max \{f (x), g (x)\}$ ，若 $M (x)$ 的最小值为 $- 1$ ，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $\pm \sqrt{2}$ B、 $\pm \sqrt{3}$ C、 $\pm 1$ D、 $\pm 2$

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7、甲、乙两人解关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + m x + n < 0$ ，甲写错了常数 $m$ ，得到的解集为 $\{x |- 5 < x < 1\}$ ；乙写错了常数 $n$ ，得到的解集为 $\{x |1 < x < 3\}$ .那么原不等式的解集为（）

A、 $\{x |2 < x < 3\}$ B、 $\{x |- 5 < x < 1\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 5\}$ D、 $\{x |1 < x < 2\}$

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8、已知 $f (\sqrt{x} + 1) = x - 1$ ，则函数 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ B、 $f (x) = x^{2} - 1$ （ $x \geq 1$ ） C、 $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ （ $x \geq 1$ ） D、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ （ $x \geq 1$ ）

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9、若命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + m \geq 0$ ”是真命题，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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10、给出下列命题，其中是真命题的是（）

A、 $a > b \Rightarrow a c^{2} > b c^{2}$ B、 $|a| > b \Rightarrow a^{2} > b^{2}$ C、 $a > b > 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $a^{2} > b^{2} \Rightarrow a > |b|$

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11、已知命题 $p$ ： $\forall x > 2$ ， $x^{2} - x + m > 1$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists x > 2$ ， $x^{2} - x + m \leq 1$ B、 $\forall x > 2$ ， $x^{2} - x + m \leq 1$ C、 $\exists x \leq 2$ ， $x^{2} - x + m \leq 1$ D、 $\forall x \leq 2$ ， $x^{2} - x + m > 1$

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12、已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 1) x + 1, a \in R$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) < 1$ ；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - (a + 1) x + 1 \geq 0$ 的解集；

(3)、若存在 $x > 1$ ，使得不等式 $f (x) \leq - 2 a (x + 1)$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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13、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中，所有棱长均为 $a$ ，点 $Q$ 是底面 $A B C D$ 内任意一点，点 $Q$ 到侧面 $P A B, P B C, P C D, P D A$ 的距离分别为 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ ．

(1)、若点 $R$ 是棱 $P C$ 的中点，求异面直线 $B R$ 与 $P A$ 所成角的正弦值；

(2)、若 $d_{1} d_{2} d_{3} d_{4} \neq 0$ 且 $d_{1} + d_{3} = \frac{\sqrt{6}}{3} a$ ，求 $d_{2} d_{4}$ 的最大值；

(3)、记 $P Q$ 与侧面 $P A B, P B C, P C D, P D A$ 所成的角分别为 $α, β, γ, δ$ ，求 $cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ + cos 2 δ$ 的值．

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14、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，若 $E$ 是 $A B$ 上一点， $B C = C E$ ．记 $∠ A B C = α$ ， $∠ A C E = β$ ．

(1)、证明： $\cos 2 α + \sin β = 0$ ；

(2)、若 $A C = \sqrt{3} A E, C D = 3, A D = 2$ .
（Ⅰ）求 $β$ 的值；
（Ⅱ）求线段 $B D$ 长度的取值范围．

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15、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B B_{1} = 3$ ， $B C = 2$ ， $\vec{B_{1} D} = λ \vec{B_{1} C_{1}} (0 < λ < 1)$ ．

(1)、若 $A C_{1} //$ 平面 $A_{1} B D$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、设二面角 $B_{1} - A_{1} B - D$ 与二面角 $D - A_{1} B - C_{1}$ 的平面角分别为 $α, β$ ，若 $α = β$ ，求 $λ$ 的值．

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16、已知 $\vec{m} = (\sqrt{3} \sin x, 2 \sin x)$ ， $\vec{n} = (2 \cos x, \sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、若 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $f (\frac{α}{2} + \frac{π}{3}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $\sin (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $β$ 的值．

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17、若存在 $a \in R, n \in N^{*}$ ，使函数 $f (x) = cos 2 x - a sin x$ 在区间 $(0, n π)$ 内恰有 $2026$ 个零点，则
（1）当 $a = 0$ 时， $n =$ ；
（2）当 $a > 0$ 时，所有满足条件的正整数 $n$ 的值共有个．

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18、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 3, A C = 2, ∠ B A C = 90 °$ ，点 $M, N$ 满足 $\vec{C M} = \vec{M B}$ ， $\vec{A N} = 2 \vec{N B}$ ．设线段 $A M$ 与 $C N$ 交于点 $P$ ，则 $\cos ∠ M P N =$ ．

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19、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $A$ 是 $△ A B C$ 的最小内角，且 $\tan A$ 为整数， $cos A + a \sin C = 2 \sqrt{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{4}$ B、 $c = 3$ C、当 $C > B > A$ ，且 $\tan B$ 也是整数时， $\tan C = - 3$ D、 $△ A B C$ 面积的取值范围是 $[\frac{9}{4}, \frac{9}{2}]$

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20、如图，两个边长均为 $2$ 的正方形 $A B C D$ 与正方形 $A B E F$ 所在的平面相交，其二面角 $C - A B - E$ 的平面角为 $\frac{π}{3}$ ．点 $M, N$ 分别是对角线 $A C, B F$ 上的动点，记 $C M = B N = a (0 < a < 2 \sqrt{2})$ ，点 $P$ 是线段 $M N$ 上的一动点．下列结论一定正确的是（）

A、 $M N //$ 平面 $A D F$ B、三棱锥 $C - P B E$ 的体积存在最大值 C、 $M N$ 的最小值是 $1$ D、若点 $A, B, C, D, E, F$ 在同一球的球面上，则该球的体积是 $\frac{28 \sqrt{21} π}{27}$

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