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相关试卷

1、已知 $a \in (0, π)$ ，且 $\sin α + \cos α = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos 2 a$ 的值为

A、 $\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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2、函数 $f (x) = |\frac{2}{1 + e^{x}} - 1| \cos x$ 在y轴两边的局部图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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3、为了得到函数 $y = sin (x + \frac{π}{6})$ 的图像，只需把余弦函数上所有点（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向右平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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4、若 $a = {log}_{π} \frac{1}{3}$ ， $b = 3^{\frac{1}{π}}$ ， $c = sin 3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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5、简谐运动 $y = 4 \sin (5 x - \frac{π}{3})$ 的相位与初相是（）

A、 $5 x - \frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{3}$ B、 $5 x - \frac{π}{3}$ ， 4 C、 $5 x - \frac{π}{3}$ ，－ $\frac{π}{3}$ D、 $4$ ， $\frac{π}{3}$

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} ln (2 - x), x \leq 1, \\ - x^{2} + 1, x > 1, \end{array}$ 设 $g (x) = |f (x)| - a x + a$ ，若函数 $g (x)$ 仅有一个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1] \cup [0, 2]$ D、 $(- 1, 0] \cup (2, + \infty)$

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7、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f (1) = 0$ ，当 $x < 0$ 时， $x f^{'} (x) + 3 f (x) > 0$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ B、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$

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8、已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{12})$ 上单调递减，且 $x = \frac{π}{6}$ 和 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 分别是函数 $y = f (x)$ 图象的对称轴和对称中心，则 $f (\frac{π}{4}) =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、若 $tan θ = - 2$ ，则 $cos 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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10、如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q} = |\vec{P Q}|$ ；

(1)、求∠PAQ的大小；

(2)、求 $△ A P Q$ 面积的最小值；

(3)、某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“ $△ A P Q$ 中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由．

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11、已知 $A (1, 1)$ ， $B (m, 2)$ ， $C (- 2, 3)$ ， $D (- 1, n)$ 是复平面上的四个点，其中 $m$ ， $n \in R$ ，且向量 $\overset{⃑}{B C}$ ， $\overset{⃑}{A D}$ 对应的复数分别为 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ．
（1）若 $z_{1} - z_{2} = 1 - i$ ，求 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ；
（2）若 $|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{2} |z_{1}| = 2$ ， $z_{2}$ 对应的点在复平面内的第二象限，求 $\frac{z_{2} - \sqrt{3} i}{z_{1} - 1}$ ．

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12、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} b$ ．

(1)、若 $b = 2$ ， $c = 3$ ，求 $a$ 的值：

(2)、若 $a^{2} = b c$ ，判断 $△ A B C$ 的形状．

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13、已知 $|\overset{⃑}{a}| = 4$ ，向量 $\overset{⃑}{b} = (- 1, \sqrt{3})$ ．

(1)、若向量 $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{b}$ ，求向量 $\overset{⃑}{a}$ 的坐标；

(2)、若向量 $\overset{⃑}{a}$ 与向量 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为120°，求 $|\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ ．

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14、“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为 $O T$ ，测量小组选取与塔底 $O$ 在同一水平面内的两个测量点 $A$ 和 $B$ ，现测得 $∠ O B A = 105 °, ∠ O A B = 45 °, A B = 45$ m，在点 $B$ 处测得塔顶 $T$ 的仰角为 $30 °$ ，则塔高 $O T$ 为m．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{N C}$ ， $P$ 是 $B N$ 上的一点，若 $\vec{A P} = \frac{3}{11} \vec{A B} + m \vec{A C}$ ，则实数 $m$ 的值为.

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16、复数 $z = i^{2025} (1 + i) - a$ 为纯虚数，则实数 $a$ 的值为．

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17、在 $△ A B C$ 中， $\sin \frac{C}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}, B C = 10, A C = 2$ ，则（）

A、 $A B = 4 \sqrt{5}$ B、 $△ A B C$ 的面积为8 C、 $\vec{C A} \cdot \vec{B C} = 12$ D、 $△ A B C$ 的内切圆半径是 $3 - \sqrt{5}$

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18、已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\overset{⃑}{A B} = 2 \vec{a}$ ， $\overset{⃑}{B C} = \vec{b}$ ，则（）

A、 $\overset{⃑}{A C} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ C、 $(4 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \overset{⃑}{B C}$ D、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$

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19、下列结论中错误的为（）

A、两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B A}$ 的长度相等 C、对任意向量 $\vec{a}$ ， $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ 是一个单位向量 D、零向量没有方向

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20、已知 $|\vec{a}| = 5$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 12$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{4}{3} \vec{b}$ B、 $- \frac{4}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{b}$

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