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相关试卷

1、已知海上 $B$ 岛在 $A$ 岛的北偏东 $70^{\circ}$ 方向距离 $A$ 岛5海里处， $C$ 岛在 $A$ 岛的北偏西 $50^{\circ}$ 方向， $B$ 岛与 $C$ 岛相距7海里，则 $A$ 岛与 $C$ 岛的距离为海里.

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2、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分列为 $a, b, c, A = 60 °, ∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于 $D$ ， $A D = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{B D}{C D} = \frac{sin B}{sin C}$ C、 $\frac{1}{B D} + \frac{1}{C D}$ 的最大值是 $\sqrt{3}$ D、 $△ A B C$ 的周长的取值范围是 $[4 \sqrt{3}, + \infty)$

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3、有下列说法，其中正确的说法为（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、两个非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，若 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直 C、若点G为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ D、若 $\vec{O A} + \vec{O C} + 3 \vec{O B} = \vec{0}$ ， $S_{△ A O C}$ ， $S_{△ A B C}$ 分别表示 $△ A O C$ 、 $△ A B C$ 的面积，则 $S_{△ A O C} : S_{△ A B C} = 3 : 5$

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4、已知复数 $z = (1 - i) (6 + i)$ ，则（）

A、 $\bar{z} = 7 + 5 i$ B、 $|z - 2| = 5 \sqrt{2}$ C、 $z + 7$ 为纯虚数 D、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限

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5、函数 $y = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = \frac{π}{6}$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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6、如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（）

A、 $A F ⊥ C H$ B、 $C H ∥ B D$ C、EI与BG共面 D、AF与BG异面

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7、已知点M为 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的中点，点N满足 $\vec{A N} = \frac{1}{5} \vec{A M}$ ，过点N的直线与 $A B, A C$ 分别交于P，Q两点，且设 $\vec{A P} = x \vec{A B}, \vec{A Q} = y \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的值为（）

A、5 B、6 C、9 D、10

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8、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 2, B = \frac{π}{3}, b = x$ （ $x$ 为常数），若该三角形有两个解，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(2, 4)$ B、 $(\sqrt{3}, 4)$ C、 $(\sqrt{3}, 2)$ D、 $(1, 2)$

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9、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的模为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10、 $\sin 5 ° \cos 25 ° + \sin 25 ° \cos 5 ° =$ （）．

A、 $\sin 20 °$ B、 $\sin 30 °$ C、 $\cos 30 °$ D、 $\cos 20 °$

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11、在”五四”来临之际，某学校团委组织以“春风吹，青春启航”为主题的知识竞赛，比赛分初赛和决赛两个阶段，甲、乙两人进入决赛争夺冠军，决赛规则如下：每轮答题获得 $1$ 分，其概率为 $\frac{1}{3}$ ，获得 $2$ 分，其概率为 $\frac{2}{3}$ .最多进行 $20$ 轮答题，某同学累计得分为 $20$ 分时，比赛结束，该同学获得冠军，另一同学获得亚军.

(1)、当进行完 $3$ 轮答题后，甲同学总分为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列及 $E (Y)$ ；

(2)、若累计得分为 $m$ 的概率为 $P_{m}$ ，（初始得分为 $0$ 分， $p_{0} = 1$ ）
①求 $P_{m} - P_{m - 1}$ 的表达式( $0 \leq m \leq 19, m \in N^{*}$ ).
②求获得亚军的概率.

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12、在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，点P是 $C_{1}$ 上任意一点．抛物线 $C_{2} : x^{2} = 2 y$ ，

(1)、求 $C_{1}$ 的方程；

(2)、过点P作 $C_{1}$ 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于 $A ， B$ 两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值；

(3)、 $P C ， P D$ 是 $C_{2}$ 的两条切线， $C ， D$ 是切点，求 $△ P C D$ 面积的最小值．

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13、若函数 $f (x) = λ ln x (λ > 0)$ 与函数 $g (x) = 1 - \frac{a}{x}$ 的图象在公共点处有相同的切线.

(1)、当 $λ = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在公共点处的切线方程；

(2)、求 $a$ 的最小值：

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14、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D ∥ B C$ ，面 $P A C ⊥$ 底面 $A B C D, P A ⊥ A C, P A = B C = 2 A B = 4, ∠ A B C = 60 °$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ A P$ ；

(2)、求平面 $A C P$ 与平面 $C D P$ 夹角的余弦值．

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15、已知 $△ A B C$ 的三边 $a, b, c$ 所对的角分别为 $A, B, C, 5 (a sin A - b sin B) = 3 c sin C$ ．

(1)、求证： $tan A = 4 tan B$ ；

(2)、若 $B \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ ，求 $tan C$ 的取值范围．

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16、如图，将边长为1的正五边形 $A B C D E$ 的各边延长，得到一个正五角星.若点 $P, Q$ 在正五角星的内部（含边界），则 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的最小值为.

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17、从公比不为1的正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为．

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18、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，满足 $a + 2 b = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b \leq 2$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \leq 1$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{16}{5}$ D、 $3^{a} + 9^{b} \geq 18$

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19、已知一几何体上半部分为圆台 $P O$ ，下半部分为圆锥 $S O$ ，其中圆锥 $S O$ 底面的半径为 $r$ ，高为 $h$ ．圆台 $P O$ 的两底面的半径分别为 $r$ 和 $\frac{\sqrt{21}}{7} r$ ，高为 $2 h$ ．该几何体内接于表面积为 $100 π$ 的球，则圆台 $P O$ 的体积为（）

A、 $(10 + \sqrt{21}) π$ B、 $2 (10 + \sqrt{21}) π$ C、 $4 (10 + \sqrt{21}) π$ D、 $6 (10 + \sqrt{21}) π$

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，称点 $P (x_{0}, y_{0})$ 和直线 $l : \frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ 是椭圆 $C$ 的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当 $P$ 在圆外时，其极线 $l$ 是椭圆从点 $P$ 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知 $P$ 是直线 $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 上的一个动点，过点 $P$ 向椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 引两条切线，切点分别为 $M, N$ ，直线 $M N$ 恒过定点 $T$ ，当 $\vec{M T} = \vec{T N}$ 时，直线 $M N$ 的方程为（）

A、 $x + 2 y - 4 = 0$ B、 $x + 2 y + 4 = 0$ C、 $2 x - y - 4 = 0$ D、 $2 x + y - 4 = 0$

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