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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $b cos C + c cos B = b$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 B、若 $B = 30 °$ ， $b = 2$ ， $c = 2 \sqrt{2}$ ，则 $C = 45 °$ C、若 $a = 2$ ， $b = 4$ ， $cos C = \frac{1}{4}$ ，则 $c = 4$ D、若 $△ A B C$ 面积为 $S = \frac{1}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ，则 $C = 45 °$

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2、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）

A、甲与乙互斥 B、丙发生的概率为 $\frac{1}{6}$ C、甲与丁相互独立 D、乙与丙相互独立

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3、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $A C ⊥ C B$ ， $P A = 2 B C = 2$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，则此四面体的外接球表面积为（）

A、 $3 π$ B、 $8 π$ C、 $9 π$ D、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$

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4、已知向量 $\vec{m} = (2, λ)$ ， $\vec{n} = (2 - λ, - 4)$ ，若 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 方向相反，则实数 $λ$ 的值为（）

A、4 B、2或 $- 4$ C、 $- 2$ D、 $- 2$ 或4

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5、已知圆锥的底面半径为 $\sqrt{2}$ ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} π$ C、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3} π$ D、 $\frac{8 \sqrt{6}}{3} π$

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6、已知在平行四边形ABCD中，E为AC上靠近点A的三等分点，设 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{5}{12} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{4}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$

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7、四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）

A、平均数为3，中位数为2 B、平均数为2，方差为2.4 C、中位数为3，众数为2 D、中位数为3，方差为2.8

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8、某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用按比例分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从乙种型号的产品中抽取件数为（）

A、24 B、9 C、36 D、18

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9、已知复数 $z = (3 - 4 i) i$ ，则z的虚部是（）

A、4 B、 $- 4$ C、3 D、3i

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10、如下左图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $∠ A B C = 90 °$ .过顶点 $C$ 作对角线 $B D$ 的垂线，交对角线 $B D$ 于点 $O$ ，交边 $A D$ 于点 $Q$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折，形成四面体 $P B C D$ ，如下右图.

(1)、求四面体 $P B C D$ 外接球的体积；

(2)、求证：平面 $P B D ⊥$ 平面 $O C Q$ ；

(3)、若点 $G$ 为棱 $B C$ 的中点，请判断在将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折过程中，直线 $P G$ 能否平行于面 $O C Q$ .若能请求出此时的二面角 $P - B D - C$ 的大小；若不能，请说明理由.

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11、Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 与 $p$ ，乙连续2次答错的概率为 $\frac{1}{16}$ ．

(1)、求乙答对题的概率；

(2)、若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率．

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12、为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组 $[45, 55 ）$ ，第二组 $[55, 65 ）$ ，第三组 $[65, 75 ）$ ，第四组 $[75, 85 ）$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为 $0.3$ ，第一组和第五组的频率相同．

(1)、估计这100名同学体能成绩分数的平均分和第66百分位数；

(2)、现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差．

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13、已知 $△ A B C$ 的三个角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，

(1)、已知 $a = \sqrt{33} ， b = 4 ， c = 5$ ，求 $B C$ 边上中线长.

(2)、请用 $a ， b ， c$ 表示 $B C$ 边的中线长，并写出推导过程.

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14、如图， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $A E ⊥ P B$ 于点 $E ， A F ⊥ P C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、设平面 $A E F$ 交 $P D$ 于点 $G$ ，求证： $A G ⊥ P D$ ．

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15、如图，透明塑料制成的长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内灌进一些水，固定容器底面一边 $B C$ 于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：
①有水的部分始终为四棱柱形；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面 $E F G H$ 所在四边形的面积为定值；
④棱 $A_{1} D_{1}$ 始终与水面所在平面平行；
⑤当容器倾斜如图（3）所示时， $B E \cdot B F$ 是定值．其中所有正确命题的序号是．

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16、已知 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是共线向量，则实数 $k$ 的值是．

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17、已知复数 $z_{1} = a + b i ， z_{2} = 4 + a i (a ， b \in R)$ ，若 $|z_{1}| < z_{2}$ ，则 $b$ 的取值范围是．

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18、已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样的1个白球、1个红球、2个黑球，现从中依次不放回地随机抽取2个小球，事件 $A =$ “取到红球和黑球”，事件 $B =$ “第一次取到黑球”，事件 $C =$ “第二次取到黑球”，则下列结论正确的是（）

A、 $P (B) + P (C) = 1$ B、 $P (A + B) = \frac{5}{6}$ C、 $P (B C) = \frac{1}{6}$ D、 $P (A C) = P (A) P (C)$

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19、已知 $a ， b \in R$ ，方程 $x^{2} + a x - b = 0$ 有一个虚根为 $1 + i ， i$ 为虚数单位，另一个虚根为 $z$ ，则（）

A、该方程存在实数根 B、 $a = - 2$ C、 $z = 1 - i$ D、 $z^{2024} = 2^{1012}$

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20、 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $c \cos B + b \cos C = a^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a = 2$ B、若 $B + C = 2 A$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $△ A B C$ 不可能为锐角三角形 D、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{B C} \cdot \vec{B O} = \frac{1}{2}$

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