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相关试卷

1、化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式 ${SF}_{6}$ ）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体 $E - A B C D - F$ 的（如图2）棱长为2，则（）

A、正八面体 $E - A B C D - F$ 的内切球表面积为 $\frac{8 π}{3}$ B、正八面体 $E - A B C D - F$ 的外接球体积为 $\frac{8 π}{3}$ C、若点 $P$ 为棱 $E B$ 上的动点，则 $A P + C P$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ D、若点 $Q$ 为棱 $A F$ 上的动点，则三棱锥 $E - Q B C$ 的体积为定值 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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2、下列命题中正确的是（）

A、若向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (x, - 6)$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ 的充要条件是 $x = 4$ B、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个相互垂直的单位向量， $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = k \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $k = 6$ C、已知正方形 $O A B C$ 的边长为1，则 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot (\vec{C A} + \vec{C B}) = 5$ D、若O为四边形 $A B C D$ 所在平面内一点，且 $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D}$ ，则四边形 $A B C D$ 为平行四边形

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3、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，M，N分别为棱AB，AD， $D_{1} C_{1}$ ， $C_{1} B_{1}$ 的中点，过E，F，M，N四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（）

A、该截面是六边形 B、 $A_{1} C ⊥$ 平面 $E F M N$ C、平面 $E F M N / /$ 平面 $A D_{1} B_{1}$ D、该截面过棱 $B B_{1}$ 的一个三等分点

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4、如图所示，某圆台型木桶（厚度不计）上下底面的面积分别为 $4 π$ 和 $π$ ，且木桶的体积为 $7 π$ ，则该木桶的侧面积为（）

A、 $6 π$ B、 $9 π$ C、 $2 \sqrt{10} π$ D、 $3 \sqrt{10} π$

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5、在正六边形ABCDEF中， $\vec{A D} = x \vec{A C} + y \vec{B D}$ ，则 $x^{2} + y^{2} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、1

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6、在 $△ A B C$ 中，角所对的边分别是 $a ， b ， c ，$ 若 $\sin \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$ ，且 $a \sin B = c \sin A$ ，则该三角形的形状是（）

A、三边均不相等的三角形 B、底边与腰不相等的等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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7、若 $\sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (2 α - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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8、若直线a不平行于平面 $α$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $α$ 内的所有直线均与直线a异面 B、直线a与平面 $α$ 有公共点 C、 $α$ 内不存在与a平行的直线 D、 $α$ 内的直线均与a相交

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9、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 为两个不共线的向量，若向量 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}, \vec{b} = - 2 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ，则下列向量中与向量 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 共线的是（）

A、 $- 5 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ B、 $4 \vec{e_{1}} + 10 \vec{e_{2}}$ C、 $10 \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}}$ D、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$

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10、已知复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ （i为虚数单位），则z的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红．每次随机抽取一个小球后放回．抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为 $P_{n}$ ．

(1)、求 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ；

(2)、若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有 $P_{n} = a P_{n - 1} + b P_{n - 2} + c P_{n - 3}$ ，试确定a，b，c的值，并说明理由；

(3)、若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？

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12、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A D = \sqrt{3}$ ， $C D = 1$ ， $∠ A C D = 60^{\circ}$ ， $∠ A B C = 30^{\circ}$ .

(1)、证明： $A D ⊥ C D$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(3)、设 $E$ 为线段 $A B$ 的中点，求 $D E$ 的最大值.

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13、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C ⊥$ 平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且 $P A = A C = 2$ ， $A B = 1$ ， $E F = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、求二面角 $F - A E - C$ 的余弦值．

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14、某社区为了解志愿者每周志愿服务的时长，在全社区300名志愿者中随机抽取20名志愿者在某个星期的志愿服务记录，统计他们当周在社区的志愿服务时长，按时长分组，得到频率分布直方图如图所示：

(1)、求a的值；社区对志愿服务时长大于或等于11小时的志愿者认定为优秀志愿者，如果以当周志愿服务统计结果作为依据，请估计该社区每周获得优秀的志愿者的人数；

(2)、求出这20名志愿者当周志愿服务时长的样本众数、中位数、平均数（结果保留一位小数）．

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15、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ = \frac{5 π}{6}$ ，且 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ ．

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16、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D是AB的中点．若 $a + \frac{1}{2} = c \cos B$ 且 $A C = 1$ ， $C D = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $A B =$ ．

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17、已知互不相等的4个正整数从小到大排序为 $x, y, z, 6$ ．若这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为．

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18、已知 $z_{1} = 2 + 3 i$ ， $z_{2} = - 4 + i$ ，则 $|z_{1} + z_{2}| =$ ．

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19、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是 $A B = 8$ ， $B C = 4$ 的矩形，直四棱柱的高为4，E，F分别为棱AB， $A_{1} D_{1}$ 的中点，则下列说法中正确的有（）

A、直线 $A_{1} B$ 与CF相交 B、异面直线 $D B_{1}$ 与CE所成角为 $90 °$ C、二面角 $D_{1} - C E - D$ 的平面角为 $45 °$ D、平面CEF截该长方体所得的截面为五边形

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20、某市2023年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图．则下列结论中正确的是（）

A、招商引资后，工资净收入较前一年减少 B、招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍 C、招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的 $\frac{1}{3}$ D、招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍

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