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相关试卷

1、设 $f (x) = e^{x}$ ， $h (x) = \sin x + \cos x$ .

(1)、求函数 $y = \frac{h (x)}{f (x)}$ ， $x \in (- π, 2 π)$ 的单调区间和极值；

(2)、若关于x不等式 $f (x) + h (x) \geq a x + 2$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上恒成立，求实数a的值.

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2、中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为 $\frac{2}{3}$ ，且每次投篮是否命中相互独立.

(1)、记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）；

(2)、若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率；

(3)、在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.

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3、已知函数 $f (x) = - x^{3} + \frac{9}{2} x^{2} - 6 x + a (a \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $[- 2, 3]$ 上的最大值；

(2)、若函数 $f (x)$ 恰有三个零点，求a的取值范围.

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4、每年的6月5日是世界环境日，某校计划在6月5日开展社区垃圾分类宣传活动，学校现从12名志愿者中选调6名志愿者去某社区作宣传，其中这12名志愿者有2名教师、4名高一学生、4名高二学生和2名高三学生.求：

(1)、若选调的志愿者中恰有1名教师，且不含高三学生，则不同选调方法有多少种？

(2)、若选调的志愿者中必有教师，则不同选调方法有多少种？

(3)、若选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，则不同选调方法有多少种？

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5、新高考“ $3 + 3$ ”模式最大的特点就是取消了文理分科，除语文、数学、外语3门必考科目外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门中自主选择3门作为选考科目，为了了解学生对全文（政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，某学校从高一年级的学生中随机抽取男、女生各25人进行模拟选科．经统计，选择全文的男生有10人，在随机抽取的50人中选择全文的比不选全文的多10人．

(1)、请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关；
选择全文
不选择全文
总计
男生
女生
总计

(2)、将样本的频率视作概率，估计在高一年级全体女生中随机抽取两人，恰好一人选择全文的概率．
附表：
$P (χ^{2} \geq k)$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$

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6、阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有20%的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有30%的学生每天阅读时间超过1小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占60%.现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为.

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7、已知曲线C的方程为 $y = ln (x + 1) + e^{2 x + 1}$ ，则曲线C在点 $A (0, e)$ 处的切线方程为.

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8、已知 $C_{25}^{n + 1} = C_{25}^{3 n - 4}$ ，则 $A_{n + 3}^{n + 3} - 89 A_{n + 1}^{n + 1} - 8 A_{n}^{n}$ 的值为.

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9、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若满足 $x f^{'} (x) - f (x) = x^{2} e^{x}$ ，且 $f (1) = e$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、不等式 $f (x) \geq e$ 的解集为 $[1, + \infty)$ C、若 $f (x) \leq e^{a x}$ 恒成立，则 $a \geq \frac{1}{e} + 1$ D、若 $f (x_{1}) = x_{2} \ln x_{2} = 4$ ，则 $x_{1} x_{2} = 4$

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10、设 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + \dots + {(1 + x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，且 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1} = 253 - n$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{n} = 1$ B、 $n = 8$ C、 $a_{3} = 70$ D、 ${(1 + x)}^{n}$ 展开式的偶数项系数和为64

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11、某单位在定点帮扶贫困村 $A$ 村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高 $A$ 村村民.2016，2017，2019，2020年这四年的人均年纯收入y（单位：万元）与年份代号x之间的一组数据如表所示.若y与x线性相关，且求得其线性回归方程为 $\hat{y} = x - 2$ ，则下列说法正确的是（）
年份
$2016$
2017
2019
$2020$
年份代号x
4
5
7
8
人均年纯收入y
2.1
m
n
5.9

A、 $m + n = 8$ B、 $2025$ 年 $A$ 村人均年纯收入约为7万元 C、从 $2016$ 年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元 D、 $2020$ 年的人均年纯收入残差值为 $0.1$

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12、在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数 $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - 78)}^{2}}{2 σ^{2}}}$ 的图象拟合，且 $P (78 \leq X \leq 120) = 0.42$ ，若参加本次考试的学生共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为（）

A、600 B、800 C、1200 D、1400

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13、设 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，已知 $f (x) = 2 f^{'} (1) x - x^{2} + \ln x + 1$ ，则 $f (1) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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14、若 ${(\frac{2}{\sqrt{x}} - \sqrt[3]{x})}^{n}$ 的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项，则 ${(\frac{2}{\sqrt{x}} - \sqrt[3]{x})}^{n}$ 展开式中的常数项为（）

A、第4项 B、第5项 C、第6项 D、第7项

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15、下列说法中正确的有（）
①线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 至少经过一个样本点；
②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强；
③在回归分析中，决定系数 $R^{2} = 0.98$ 的模型比 $R^{2} = 0.97$ 的模型拟合效果要好；
④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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16、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.在第 $x h$ 时，原油的温度（单位： $° C$ ）为 $y = f (x) (0 \leq x \leq 8)$ ，若 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + 2 Δ x) - f (2)}{Δ x} = - 6$ ，则在第2h时，原油温度的瞬时变化率为（）

A、 $- 3 ° C/h$ B、 $3 ° C/h$ C、 $- 6 ° C/h$ D、 $6 ° C/h$

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17、如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，可有（）条不同路径.

A、4 B、5 C、9 D、10

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18、对四组数据进行统计，获得以下散点图，设①②③④图对应的相关系数分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ， $r_{3}$ ， $r_{4}$ ，则 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ， $r_{3}$ ， $r_{4}$ 的大小关系为（）

A、 $r_{2} < r_{4} < r_{3} < r_{1}$ B、 $r_{2} < r_{4} < r_{1} < r_{3}$ C、 $r_{4} < r_{2} < r_{3} < r_{1}$ D、 $r_{4} < r_{2} < r_{1} < r_{3}$

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 1, x \geq 0, \\ - 2 x, x < 0, \end{array} g (x) = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$ ．

(1)、若 $f (x) \leq g (x)$ ，求 $x$ 的取值范围．

(2)、记 $max \{a, b\} = \{\begin{array}{l} a (a \geq b), \\ b (a < b), \end{array}$ 已知函数 $y = max \{f (x), g (x)\} - a x - 2$ 有 $k$ 个不同的零点．
①若 $k = 2$ ，求 $a$ 的取值范围；
②若 $k = 3$ ，且 $α, β$ 是其中两个非零的零点，求 $\frac{1}{|α|} + \frac{1}{|β|}$ 的取值范围．

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20、如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C = 2 A_{1} C_{1} = 4, B C = 2 \sqrt{2}, C C_{1} = 2 \sqrt{5}, A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ B C, D$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} B_{1} ⊥ D C_{1}$ ．

(2)、过 $A_{1}, D, C_{1}$ 的平面把三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 分成两部分，体积分别是 $V_{1}$ 和 $V_{2} (V_{1} < V_{2})$ ，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值．

(3)、求平面 $C C_{1} D$ 和平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成锐二面角的正切值．

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$P (χ^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

年份	$2016$	2017	2019	$2020$
年份代号x	4	5	7	8
人均年纯收入y	2.1	m	n	5.9

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