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相关试卷

1、每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的人员中，常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了200人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图.

(1)、求a的值；

(2)、根据频率分布直方图，求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间 $\bar{x}$ （同一组的数据用该组区间的中点值代替）；

(3)、若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.

睡眠足
睡眠不足
总计
常参加体育锻炼人员

不常参加体育锻炼人员

总计

附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
$x_{α}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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2、某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格：
用户一个月月租减免的费用x（元）
4
5
6
7
8
用户数量y（万人）
2
2.1
2.5
2.9
3.2
已知x与y线性相关.

(1)、求y关于x的经验回归方程（ $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 190$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 79.4$ ）；

(2)、据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)$ ，其经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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3、设随机变量 $X \sim B (3, \frac{1}{3})$ ，则 $P (X \geq 1) =$ ．

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4、一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为 $A_{1}$ ， “第一次取得白球”为 $A_{2}$ ， “第二次取得黑球”为 $B_{1}$ ， “第二次取得白球”为 $B_{2}$ ，则（）

A、 $P (A_{1} B_{2}) = \frac{12}{49}$ B、 $P (B_{1}) + P (B_{2}) = 1$ C、 $P (B_{1} ∣ A_{1}) + P (B_{2} ∣ A_{1}) = 1$ D、 $P (B_{2} ∣ A_{1}) + P (B_{1} ∣ A_{2}) = 1$

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5、高二年级安排甲､乙､丙三位同学到 $A, B, C, D, E, F$ 六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（）

A、如果社区 $B$ 必须有同学选择，则不同的安排方法有88种 B、如果同学乙必须选择社区 $C$ ，则不同的安排方法有36种 C、如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种 D、如果甲､丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种

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6、下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（）

A、学生的身高与学生的化学成绩 B、汽车行驶的里程与它的耗油量 C、人的年龄与年收入 D、水果的重量与它的总价

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7、甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 $p$ ，随机变量 $X$ 表示最终的比赛局数，若 $X$ 的数学期望为 $\frac{22}{9}$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{2}{3}$

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8、设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（）

A、0.62 B、0.64 C、0.58 D、0.68

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9、色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且 $\hat{y} = 0.8 x + \hat{a}$ ，现有一对测量数据为 $(30, m)$ ，若该数据的残差为0.6，则 $m =$ （）
色差x
21
23
25
27
色度y
15
18
19
20

A、23.4 B、23.6 C、23.8 D、24.0

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10、已知随机变量 $X$ 服从两点分布， $E (X) = 0.6$ ，则其成功概率为（）

A、0.3 B、0.4 C、0.5 D、0.6

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11、某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（）

A、14 B、64 C、72 D、80

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12、记△ $A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{\cos A}{1 + \sin A} = \frac{\sin 2 B}{1 + \cos 2 B}$ ．

(1)、若 $\cos C = - \frac{1}{3}$ ，求 $\sin B$ ；

(2)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值．

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13、已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为 $2 \sqrt{3}$ .
（1）求圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.

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14、已知 $\overset{⃑}{a} = (1, 0)$ ， $\overset{⃑}{b} = (2, 1)$
（1）当k为何值时， $k \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a} + 3 \overset{⃑}{b}$ 平行：
（2）若 $\overset{⃑}{b} ⊥ (\overset{⃑}{a} + t \overset{⃑}{b})$ ，求 $|\overset{⃑}{a} + t \overset{⃑}{b}|$ 的值

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15、已知复数 $z = \frac{5}{1 + 2 i}$ ．

(1)、求 $| z |$ ；

(2)、若z是关于x的方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的一个根，求实数a，b的值．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是 $A B$ 上的点，且 $\overset{⃑}{C P} = \frac{2}{3} \overset{⃑}{C A} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{C B}$ ，且 $Q$ 是 $B C$ 的中点， $A Q$ 与 $C P$ 的交点为 $M$ ，又 $\overset{⃑}{C M} = t \overset{⃑}{C P}$ ，则实数 $t =$ .

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17、已知一个正方体的顶点都在同一个球面上，且这个正方体的表面积为12，则这个球的体积为.

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18、若 $i$ 为虚数单位，且 $a = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $a^{2022} + a^{2021} + 1 =$ ．

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19、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列四个命题中正确的是（）

A、若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} < 0$ ，则 $△ A B C$ 一定是钝角三角形 B、若 $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\cos C}$ ，则 $△ A B C$ 一定是等边三角形 C、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形 D、若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ， $C \geq \frac{π}{3}$ ，则 $\frac{b}{c}$ 的最大值为1

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20、下列说法中正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中， $|\vec{B C}| = 3, |\vec{A C}| = 4, ∠ C = 30^{\circ}$ ，则 $\vec{B C} \cdot \vec{C A} = 6 \sqrt{3}$ B、已知 $\vec{a} = (- 4, 5), \vec{b} = (- 2, 4)$ ，则 $|2 \vec{a} - \vec{b}| = 6 \sqrt{2}$ C、已知 $\vec{a} = (1, - 1), \vec{b} = (d, 1), \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $d$ 的取值范围是 $d < 1$ D、若 $\vec{A B} = \vec{a} + \vec{b}, \vec{B C} = 2 \vec{a} + 8 \vec{b}, \vec{C D} = 3 (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $A, B, D$ 三点共线

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	睡眠足	睡眠不足	总计
常参加体育锻炼人员
不常参加体育锻炼人员
总计

$α$	0.15	0.1	0.05	0.025	0.01	0.001
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

用户一个月月租减免的费用x（元）	4	5	6	7	8
用户数量y（万人）	2	2.1	2.5	2.9	3.2

色差x	21	23	25	27
色度y	15	18	19	20