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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 4 x \leq 0, x \in Z\}$ ， $B = {x ∣ - 1 \leq x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 4]$ B、 $[0, 4)$ C、 ${0, 1, 2, 3, 4}$ D、 ${0, 1, 2, 3}$

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2、已知函数 $f (x) = a ln x - \frac{x - 1}{x + 1}, a \in R$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ .
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > \frac{a - 2 a^{2}}{a - 1}$

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3、有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.

(1)、如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用 $X$ 表示这3个球的得分之和，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球.若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率.

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4、某班共有团员12人，其中男团员8人，女团员4人，并且男､女团员各有一名组长，现从中选5人参加学校的团员座谈会.（用数字做答）

(1)、若至少有1名组长当选，求不同的选法总数；

(2)、若至多有2名女团员当选，求不同的选法总数；

(3)、若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数.

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5、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} + 12 x + b$ 在 $x = 1$ 处取得极大值6.

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、当 $x \in [0, 3]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值.

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6、若函数 $f (x) = x - \frac{1}{3} \sin 2 x + a \sin x$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 单调递增，则 $a$ 的取值范围是．

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7、过原点的直线 $l$ 与 $y = e^{x}$ 相切，则切点的坐标是.

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8、方程 $C_{15}^{x^{2} + 2 x} = C_{15}^{4 x - 1}$ 的解是.

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9、已知 ${(2 x - 1)}^{7} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \dots + a_{6} {(x - 1)}^{6} + a_{7} {(x - 1)}^{7}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{7} = 3^{7} - 1$ C、 $a_{5} = - 672$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{a_{7}}{2^{7}} = 127$

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10、设离散型随机变量 $X$ 的分布列为
$X$
0
1
2
3
4
$P$
$q$
0.2
0.1
0.4
0.1
若离散型随机变量 $Y$ 满足 $Y = 2 X + 1$ ，则下列结果正确的有（）

A、 $E (X) = 2$ B、 $D (X) = 1.8$ C、 $E (Y) = 5$ D、 $D (Y) = 14$

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11、把函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 的图像 $C_{1}$ 向右平移 $u$ 个单位长度，再向下平移 $v$ 个单位长度后得到图像 $C_{2}$ ．若对任意的 $u > 0$ ，曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 至多只有一个交点，则 $v$ 的最小值为

A、 $2$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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12、函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（）

A、 $f^{'} (1) < f^{'} (2) < f (2) - f (1) < 0$ B、 $f^{'} (2) < f (2) - f (1) < f^{'} (1) < 0$ C、 $f^{'} (1) < f (2) - f (1) < f^{'} (2) < 0$ D、 $f (2) - f (1) < f^{'} (1) < f^{'} (2) < 0$

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13、 $(2 - \frac{3}{x^{2}}) {(1 + x)}^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、17 B、20 C、75 D、100

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14、2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 $p$ 使得 $p + 2$ 是素数，素数对 $(p, p + 2)$ 称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）

A、 $\frac{1}{14}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{1}{3}$

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15、若函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的导数等于 $a$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + 2 Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}$ 的值为（）

A、 $a$ B、 $2 a$ C、 $3 a$ D、 $\frac{1}{2} a$

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16、已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = k) = \frac{1}{2^{k}}, k = 1, 2, 3, \dots$ ，则 $P (1 < X \leq 3) =$ （）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{3}{32}$ C、 $\frac{5}{42}$ D、 $\frac{3}{8}$

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17、设函数 $f (x) = a x + 1$ ，若 $f^{'} (1) = 2$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、3 D、 $- 3$

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18、设集合 $P \subseteq N^{*}$ ，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：
① $Q \subseteq N^{*}$ ，且Q中至少有两个元素；
②对于任意 $m, n \in P$ ，当 $m \neq n$ ，都有 $m + n \in Q$ ；
③对于任意 $u, v \in Q$ ，若 $v > u$ ，则 $v - u \in P$ ；
则称集合Q为集合P的“耦合集”．

(1)、若集合 $P_{1} = \{2, 4, 6\}$ ，求集合P₁的“耦合集” $Q_{1}$ ；

(2)、集合 $P_{2} = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}, a_{i} \in N^{*}, i = 1, 2, 3, 4$ ，且 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4}$ ，若集合 $P_{2}$ 存在“耦合集” $Q_{2}$ ．
（i）求证：对于任意 $1 \leq i < j \leq 4$ ，有 $a_{j} - a_{i} \in P_{2}$ ；
（ii）求集合 $P_{2}$ 的“耦合集” $Q_{2}$ 的元素个数．

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19、如图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有 $R_{1}, R_{2}$ 两个易堵点， $R_{1}$ 处出现堵车的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且当 $R_{1}$ 出现堵车时， $R_{2}$ 出现堵车的概率为 $\frac{2}{3}$ ；当 $R_{1}$ 不堵车时， $R_{2}$ 出现堵车的概率为 $\frac{1}{4}$ ；主干道Ⅱ有 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ 三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率；

(2)、若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率；

(3)、已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟．若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} - x - a \ln x, a > 0$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上为单调函数，求a的取值范围．

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$X$	0	1	2	3	4
$P$	$q$	0.2	0.1	0.4	0.1