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相关试卷

1、已知集合 $A = {x ∣ - 2 \leq x < 5}$ ， $B = \{- 3, 0, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{- 2, 0\}$ C、 $\{0, 3\}$ D、 $\{- 2, 0, 3\}$

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2、设函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ $(a, b \in R)$ ．

(1)、若 $b = 1$ ，函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 的值域是 $[m, n]$ ，求函数 $h (a) = n - m$ 的表达式；

(2)、令 $t = b - \frac{a^{2}}{4}$ ，若存在实数 $c$ ，使得 $|f (c)| \leq 1$ |与 $|f (c + 2)| \leq 1$ |同时成立，求 $t$ 的取值范围

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (1, \frac{3}{2})$ ，且离心率 $e$ 为 $\frac{1}{2}$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、 $E$ 、 $F$ 是椭圆上的两个动点，如果直线 $A E$ 的斜率与 $A F$ 的斜率互为相反数，证明直线 $E F$ 的斜率为定值，并求出这个定值.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中，对任意的 $n \in N_{+}$ ，都有 $a_{n} + a_{n + 1} = 4 n$ .

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{1} = 3$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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5、为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测验得到了如表数据：
学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校
30
10
40
乙校
20
20
40
合计
50
30
80

(1)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中所有数据都扩大为原来的10倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因．

(2)、据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，且将频率视为概率、现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例依次抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．如果已知从中抽到了一名优秀学生，求该名学生来自丙校的概率．
附：临界值表：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
x_α
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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6、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B B_{1}$ ， $D D_{1}$ 上，且 $A E ⊥ A_{1} B$ ， $A F ⊥ A_{1} D$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(2)、当 $A D = 3$ ， $A B = 4$ ，且平面 $A E F$ 与平面 $D_{1} B_{1} B D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{12 \sqrt{2}}{25}$ 时，求 $A A_{1}$ 的长．

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7、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sin C = \sqrt{2} \sin B$ ，且 $c = 4 \sqrt{2}$ .

(1)、求边b的值；

(2)、若D为边BC的中点， $\cos ∠ C A D = \frac{3}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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8、设函数 $y = f (x)$ 的图象既关于点 $(1, 1)$ 对称，又关于直线 $x + y = 0$ 轴对称．当 $x \in (0, 1)$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + 1)$ ，则 $f (\log_{2} 12)$ 的值为．

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9、已知点 $M$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，过 $M$ 作 $C$ 的准线的垂线，垂足为 $H$ ，点 $F$ 为 $C$ 的焦点．若 $∠ H M F = 60^{\circ}$ ，点 $M$ 的横坐标为1，则 $p =$ ．

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10、已知直线l同时与圆 $x^{2} - 4 x + y^{2} = 0$ 和圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 相切，请写出两条直线l的方程和．

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11、 ${(1 - x)}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为．

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12、存在定义域为 $B$ 的函数 $f (x)$ 满足（　　）

A、 $f (x)$ 是增函数， $f [f (x)]$ 也是增函数 B、 $f (x)$ 是减函数， $f [f (x)]$ 也是减函数 C、 $f (x)$ 是奇函数，但 $f [f (x)]$ 是偶函数 D、对任意的 $a \in R$ ， $f (a) \neq a$ ，但 $f [f (x)] = x$

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13、如图所示，在边长1为的正六边形 $A B C D E F$ 中，下列说法正确的是（　　）

A、 $\vec{A B} - \vec{C D} = \vec{F B}$ B、 $\vec{A D} + \vec{E B} + \vec{C F} = \vec{0}$ C、 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = 1$ D、 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = \vec{A B} \cdot \vec{A F}$

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14、某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：
则下列结论中正确的是（）

A、招商引资后，工资净收入较前一年增加 B、招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍 C、招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的 $\frac{2}{5}$ D、招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍

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15、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $\tan ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{1}{3}$ ，则双曲线 $Γ$ 的离心率为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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16、所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为 $V = \frac{1}{6} (S_{1} + S_{2} + 4 S_{0}) h$ ，这里 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 为两个底面面积， $S_{0}$ 为中截面面积， $h$ 为高．如图，已知多面体 $A B C D E F$ 中， $A B C D$ 是边长 $1$ 为的正方形，且 $△ A D E$ ， $△ B C F$ 均为正三角形， $E F // A B$ ， $E F = 2$ ，则该多面体的体积为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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17、设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $(0, π)$ 恰有三个极值点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{13}{6}, \frac{8}{3}]$ B、 $(\frac{13}{6}, \frac{19}{6}]$ C、 $[\frac{5}{3}, \frac{13}{6})$ D、 $[\frac{5}{3}, \frac{19}{6})$

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18、在 $A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $E$ 是 $A D$ 的中点，若 $\overset{⃑}{B E} = λ \overset{⃑}{A B} + μ \overset{⃑}{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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19、已知 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ （　　）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $- \frac{24}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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20、若 $z = 1 - i$ ，则 $|z^{2} - 2 z + i| =$ （）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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学校	数学成绩		合计
学校	不优秀	优秀	合计
甲校	30	10	40
乙校	20	20	40
合计	50	30	80

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
x_α	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828