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相关试卷

1、若直线 $l : x - 2 cos θ \cdot y = 0$ 与圆 $E : x^{2} + y^{2} - 4 \sqrt{2} x - 1 = 0$ 交于两点 $A, B$ ，则（）

A、当 $cos θ = \frac{1}{2}$ 时，直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ B、圆 $E$ 的圆心坐标为 $(- 2 \sqrt{2}, 0)$ C、圆 $E$ 的半径为3 D、 $|A B|$ 的取值范围是 $[2, \frac{2 \sqrt{185}}{5}]$

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2、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为 $B B_{1}, D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $O C ⊥ O F$ B、CE与OF所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $A, E, C_{1}, F$ 四点共面 D、 $△ A E F$ 的面积为 $2 \sqrt{6}$

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3、若“ $\exists x \in M, 0 < x < 3$ ”为真命题，“ $\forall x \in M, x < 2$ ”为假命题，则集合 $M$ 可以是（）

A、 $\{x |x < 0\}$ B、 $\{x |0 \leq x \leq 1\}$ C、 $\{x |1 < x < 3\}$ D、 $\{x |x \leq 1\}$

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4、已知 $m, n \in (0, + \infty)$ ， $\frac{1}{m} + n = 4$ ，则 $m + \frac{9}{n}$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5、泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为 $P (x = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} (k = 0, 1, 2, \dots)$ ，其中e为自然对数的底数， $λ$ 是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中 $λ = n p$ ．一般地，当 $n \geq 20$ 而 $p \leq 0.05$ 时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量 $X ~ B (1000, 0.001)$ ， $P (X \geq 2)$ 的近似值为（）

A、 $1 - \frac{1}{e}$ B、 $1 - \frac{2}{e}$ C、 $1 - \frac{e}{4}$ D、 $1 - \frac{1}{e^{2}}$

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6、若双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (2, 0)$ ，且点 $F (2, 0)$ 到双曲线 $C$ 的一条渐近线的距离为 $1$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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7、下列说法正确的是（）

A、一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 B、根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 4.712$ ，根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验 $(x_{0.05} = 3.841)$ ，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 C、“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件 D、若随机变量 $ξ$ ， $η$ 满足 $η = 3 ξ - 2$ ，则 $D (η) = 3 D (ξ) - 2$

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8、某电动摩托车制造企业为了解其新研发的一款电动摩托车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了10000个样本，根据统计这款新型电动摩托车的续航里程 $ξ \sim N (60, σ^{2})$ ，若 $P (ξ \leq 50) = 0.010$ ，则该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车大约有（）

A、10辆 B、100辆 C、180辆 D、900辆

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9、已知正实数 $a, b, c$ 满足 $b + c = 1$ ，则 $\frac{8 a b^{2} + a}{b c} + \frac{18}{a + 1}$ 的最小值为.

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10、已知 $S_{n}$ 是公比不为1的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则“ $S_{2}, S_{6}, S_{3}$ 成等差数列”是“存在不相等的正整数 $m, n$ ，使得 $a_{m}, a_{m n}, a_{n}$ 成等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、集合 $M = \{x |- 2 \leq x \leq 3\}$ ， $N = \{x |ln x \leq 1\}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(0, e]$ B、 $[- 2, e]$ C、 $(- \infty, 3]$ D、 $[- 2, 3]$

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12、已知集合 $A = \{\sum_{i = 1}^{m} 2^{a_{i}} ∣ 0 \leq a_{1} < a_{2} < \dots < a_{m}, a_{i} \in N\}$ ，定义：当 $m = t$ 时，把集合 $A$ 中所有的数从小到大排列成数列 $\{b {(t)}_{n}\}$ ，数列 $\{b {(t)}_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S {(t)}_{n}$ .例如： $t = 2$ 时， $b {(2)}_{1} = 2^{0} + 2^{1} = 3, b {(2)}_{2} = 2^{0} + 2^{2} = 5, b {(2)}_{3} = 2^{1} + 2^{2} = 6, b {(2)}_{4} = 2^{0} + 2^{3} = 9, \dots$ ， $S {(2)}_{4} = b {(2)}_{1} + b {(2)}_{2} + b {(2)}_{3} + b {(2)}_{4} = 23$ .

(1)、写出 $b {(2)}_{5}, b {(2)}_{6}$ ，并求 $S {(2)}_{10}$ ；

(2)、判断88是否为数列 $\{b {(3)}_{n}\}$ 中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；

(3)、若2024是数列 $\{b {(t)}_{n}\}$ 中的某一项 $b {(t_{0})}_{n_{0}}$ ，求 $t_{0}, n_{0}$ 及 $S {(t_{0})}_{n_{0}}$ 的值.

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的虚轴长为4，渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左､右两支分别交于点 $A, B$ ，点 $M$ 是线段 $A B$ 的中点，过点 $F$ 且与 $l$ 垂直的直线 $l^{'}$ 交直线 $O M$ 于点 $P$ ，点 $Q$ 满足 $\vec{P Q} = \vec{P A} + \vec{P B}$ ，求四边形 $P A Q B$ 面积的最小值.

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14、为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.市防疫部门随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果有检错的可能，已知患流感的人其检测结果有 $95 %$ 呈阳性（流感），而没有患流感的人其检测结果有 $99 %$ 呈阴性（未感染）

(1)、估计该市流感感染率是多少？

(2)、根据所给的数据，判断是否有99％的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；

(3)、已知某人的流感检查结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001）
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$P (K^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

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15、在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, P A$ $∥$ $Q D$ ， $B C = 2 A B = 2 P A = 2, ∠ A B C = 60^{\circ}$ .

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $P Q = 2 \sqrt{2}$ ，求平面 $P C Q$ 与平面 $D C Q$ 夹角的余弦值.

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $2 cos A - 3 cos 2 A = 3$ .

(1)、求 $cos A$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $2 b = 3 c$ ，求 $sin C$ 的值.

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17、在四面体 $A B C D$ 中， $B C = 2, ∠ A B C = ∠ B C D = 90^{\circ}$ ，且 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ .若四面体 $A B C D$ 的体积为 $4 \sqrt{3}$ ，则它的外接球半径的最小值为.

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18、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $b_{1} = - 1, b_{5} = 8 b_{2}$ ， $(1 - 2^{n}) S_{n} = n (n + 1) T_{n}$ ，则 $a_{n} =$ .

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19、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{a} = (- 1, \sqrt{3}), \vec{b} = (\sqrt{3}, - 1), \vec{c}$ 是非零向量，且 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角相等，则 $\vec{c}$ 的坐标可以为.（只需写出一个符合要求的答案）

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20、抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，已知抛物线 $Ω : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线为 $l, O$ 为坐标原点，在 $x$ 轴上方有两束平行于 $x$ 轴的入射光线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，分别经 $Ω$ 上的点 $A (x_{1}, y_{1})$ 和点 $B (x_{2}, y_{2})$ 反射后，再经 $Ω$ 上相应的点 $C$ 和点 $D$ 反射，最后沿直线 $l_{3}$ 和 $l_{4}$ 射出，且 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离等于 $l_{3}$ 与 $l_{4}$ 之间的距离.则下列说法中正确的是（）

A、若直线 $l_{3}$ 与准线 $l$ 相交于点 $P$ ，则 $A, O, P$ 三点共线 B、若直线 $l_{3}$ 与准线 $l$ 相交于点 $P$ ，则 $P F$ 平分 $∠ A P C$ C、 $y_{1} y_{2} = p^{2}$ D、若直线 $l_{1}$ 的方程为 $y = 2 p$ ，则 $cos ∠ A F B = \frac{7}{25}$

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$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828