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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x < 0\}, B = \{x |\ln x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |0 < x < 1\}$ B、 $\{x |x > 0\}$ C、 $\{x |0 < x < 3\}$ D、 $\{x |1 < x < 3\}$

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2、已知在多面体 $A B C D E$ 中， $D E ∥ A B$ ， $A C ⊥ B C$ ， $B C = 2 A C = 4$ ， $A B = 2 D E$ ， $D A = D C$ 且平面 $D A C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、设点F为线段BC的中点，试证明 $E F ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若直线BE与平面ABC所成的角为 $60^{\circ}$ ，求二面角 $B - A D - C$ 的余弦值．

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3、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ， $P (0, 1)$ ，过P点斜率为k的直线与椭圆C交于另一点为Q．

(1)、若 $△ P O Q$ 的面积为 $\frac{8}{17}$ ，求k的值；

(2)、若直线 $y = x + m$ 与椭圆C交于M，N两点，且 $| P M | = | P N |$ ，求 $m$ 的值．

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4、已知圆O： $x^{2} + y^{2} = 2$ ，直线l： $y = k x - 2$ ．

(1)、若直线l与圆O相切，求k的值；

(2)、若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当∠AOB为直角时，求k的值．

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5、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $a$ ，点 $P$ 在正方体的表面上运动，且 $A P = \sqrt{2} a$ ，若动点 $P$ 的轨迹的长度为3π，则棱长 $a$ 为．

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6、已知直线 $l_{1} : m x - y - 3 m + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + m y - 3 m - 1 = 0$ 相交于点 $P$ ， $m \in R$ ，则点 $P$ 到坐标原点O的距离的最小值为．

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7、椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P$ 为其上的动点，当∠ $F_{1}$ $P$ $F_{2}$ 为钝角时，点 $P$ 横坐标的取值范围是．

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8、如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面．若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm，瓶高等于双曲线 $C$ 的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为cm．

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9、已知焦点在x轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则实数m等于．

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10、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 8$ ， $M N$ 为圆C的动弦，且满足 $|M N| = 4$ ， $G$ 为弦 $M N$ 的中点，两动点 $P, Q$ 在直线 $l : y = x - 4$ 上，且 $|P Q| = 4$ ， $M N$ 运动时， $∠ P G Q$ 始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0) \cup (8, + \infty)$ C、 $(0, 4)$ D、 $(0, 8)$

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11、两个曲线方程 $C_{1}$ ： $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$ ， $C_{2}$ ： $x^{4} + y^{4} = 1$ ，我们可以推断出它们的性质，其中错误的是（　　）

A、曲线 $C_{1}$ 关于y＝x对称 B、曲线 $C_{2}$ 关于原点对称 C、曲线 $C_{2}$ 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 $S_{1} < \frac{1}{2}$ D、曲线 $C_{2}$ 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 $S_{2} < \frac{π}{4}$

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12、如图，椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，正六边形 $A B F_{2} C D F_{1}$ 的一边 $F_{2} C$ 的中点恰好在椭圆 $Γ$ 上，则椭圆 $Γ$ 的离心率是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3} - 1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{13} - 1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{14} - 1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15} - 1}{3}$

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13、点 $P (- 2, - 1)$ 到直线 $l : m x + y - m - 1 = 0 (m \in R)$ 的距离最大时，直线 $l$ 的方程为（　　）

A、 $2 x - 3 y - 2 = 0$ B、 $3 x + 2 y + 8 = 0$ C、 $3 x + 2 y - 5 = 0$ D、 $2 x - 3 y + 1 = 0$

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14、设 $a \in R$ ，则“ $a = \frac{3}{2}$ ”是直线 $l_{1}$ ： $x + 2 a y - 1 = 0$ 和直线 $l_{2}$ ： $(a - 1) x + a y + 1 = 0$ 平行的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x, f (x))$ 处的曲率 $K = \frac{|f^{″} (x)|}{{(1 + {[f^{'} (x)]}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

(1)、求曲线 $f (x) = \ln x + x$ 在 $(1, 1)$ 处的曲率 $K_{1}$ 的平方；

(2)、求余弦曲线 $h (x) = \cos x (x \in R)$ 曲率 $K_{2}$ 的最大值；

(3)、余弦曲线 $h (x) = \cos x (x \in R)$ ，若 $g (x) = e^{x} h (x) + x h^{'} (x)$ ，判断 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上零点的个数，并写出证明过程.

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16、某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从7名社员中随机选择2名参加友谊赛.新学年友谊赛从10月份开始，此时7名社员中有3名新社员没有参加过此前的友谊赛.

(1)、设10月份参加比赛的新社员的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布与期望；

(2)、求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率.

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17、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，M，N分别为棱AB， $C_{1} C$ 的中点， $Δ A B C$ 为等腰直角三角形，且 $A_{1} A = A C = B C = 2$ .

(1)、证明： $A B ⊥ M N$ ；

(2)、求点 $A_{1}$ 到平面 $B_{1} M N$ 的距离.

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18、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上的一点，且 $\vec{P F_{1}} ⊥ \vec{P F_{2}}$ ，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为9，则 $b$ 的值为．

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19、多项式 ${(2 a - b)}^{2} {(a + b)}^{8}$ 的展开式中， $a^{3} b^{7}$ 的系数是.

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20、若 $f (x) = x^{3} - f^{'} (1) x^{2} + x + 5$ ，则 $f^{'} (1) =$ .

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