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相关试卷

1、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $a cos C + \sqrt{3} a sin C - b - c = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $B C$ 边的中线 $A D = \frac{\sqrt{21}}{6} a$ ，且 $△ A B C$ 面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $b + c$ 的值.

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2、已知 $e^{x} + sin x \geq a x + 1$ 对任意 $x \in [0, + \infty)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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3、2024年3月14日是第十九届世界肾脏日.某社区服务站将从5位志愿者中选3人到两个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“全民肾脏健康”，其中1人去 $A$ 社区，2人去B社区，则不同的分配方案有种（用数字作答）.

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4、边长为2的正方形 $A B C D$ 中， $M, N$ 分别为 $A B, B C$ 的中点，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D N} =$ .

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5、有 $n (n \in N^{*}, n \geq 10)$ 个编号分别为 $1, 2, 3, \dots, n$ 的盒子，1号盒子中有1个白球和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子； $\dots$ ；以此类推，记“从 $i$ 号盒子取出的球是白球”为事件 $A_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ ，则（）

A、 $P (A_{1} A_{2}) = \frac{3}{5}$ B、 $P (A_{1} ∣ A_{2}) = \frac{3}{7}$ C、 $P (\bar{A_{1}} + A_{2}) = \frac{13}{15}$ D、 $P (A_{n}) < P (\bar{A_{n}})$

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6、如图所示，已知角 $α, β (0 < α < β < \frac{π}{2})$ 的始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为 $A, B, M$ 为线段 $A B$ 的中点，射线 $O M$ 与单位圆交于点 $C$ ，则（）

A、 $∠ A O C = \frac{β - α}{2}$ B、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C} = cos \frac{β - α}{2}$ C、当 $△ A O B$ 面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 时，点 $M$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 上运动 D、点 $M$ 的坐标为 $(cos \frac{α + β}{2} cos \frac{β - α}{2}, sin \frac{α + β}{2} cos \frac{β - α}{2})$

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7、下列说法正确的是（）

A、已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1 B、正态曲线当 $μ$ 一定时， $σ$ 越小，正态曲线越“瘦高”； $σ$ 越大，正态曲线越“矮胖” C、在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数 $R^{2}$ 的值越大，说明拟合的效果越好 D、对于独立性检验，随机变量 $χ^{2}$ 的值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大

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8、若曲线 $f (x) = e^{x} + x$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线方程为 $y = k x + b$ ，则 $k + b$ 的最大值为（）

A、 $e^{2} + 1$ B、 $e^{2} - 1$ C、 $e + 1$ D、 $e - 1$

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9、商家为了解某品牌电风扇的月销售量 $y$ （台）与月平均气温 $x (^{\circ} C)$ 之间的关系，随机统计了某4个月该品牌电风扇的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；
平均气温 $(^{\circ} C)$
27
29
31
33
月销售量（台）
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的 $\hat{b} = 5$ ，据此估计平均气温为 $35^{\circ} C$ 的那个月，该品牌电风扇的销售量约为（）台.

A、63 B、61 C、59 D、57

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10、已知随机变量 $ξ, η$ 满足 $2 ξ + η = 4$ ，且 $ξ \sim B (6, \frac{1}{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P (ξ = 2) = P (ξ = 4)$ B、 $E (η) = 1$ C、 $D (η) = \frac{8}{3}$ D、 $E (ξ^{2}) = \frac{16}{3}$

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11、 ${(2 x - \frac{a}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项的值为 $- 160$ ，记展开式的二项式系数和为 $m$ ，系数和为 $n$ ，则 $m - n =$ （）

A、 $63$ B、 $65$ C、 $- 665$ D、 $793$

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12、若复数 $z = 1 - i^{2} + i^{3}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $|\bar{z}| =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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13、设向量 $\vec{a} = (x, 2), \vec{b} = (3, x)$ ，如果 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线且方向相同，则 $x$ 的值为（）

A、 $- \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{6}$ C、0 D、 $\frac{1}{5}$

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14、已知函数 $f (x) = \frac{a^{2 x} + t}{a^{x}} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是奇函数．

(1)、求 $t$ 的值；

(2)、若 $0 < a < 1$ ，对任意 $x \in [0, 1]$ 有 $f (2 x^{2} - k x - k) < f (1)$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、设 $g (x) = \log_{m} [a^{2 x} + a^{- 2 x} - m (a^{x} - \frac{1}{a^{x}})] (m > 0, m \neq 1)$ ，若 $f (1) = \frac{3}{2}$ ，问是否存在实数 $m$ 使函数 $g (x)$ 在 $[0, 1]$ 上的最大值为0？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，说明理由．

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15、某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积 $x$ （单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费 $C$ （单位：万元）与设备占地面积 $x$ 之间的函数关系为 $C (x) = \frac{20}{x + 5} (x > 0)$ .将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为 $y$ （单位：万元）.

(1)、要使 $y$ 不超过7.2万元，求设备占地面积 $x$ 的取值范围；

(2)、设备占地面积 $x$ 为多少时， $y$ 的值最小？

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16、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的周期及在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(2)、若 $θ$ 为锐角且 $f (θ) = - \frac{2}{5}$ ，求 $\cos 2 θ$ 的值．

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17、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 在R上的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(- 1, 0)$ 上的单调性，并给出证明.

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18、（1）已知角 $α$ 的终边经过点 $P (\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ ，求 $\frac{sin (\frac{π}{2} - α) \cdot tan (α - π)}{sin (π + α) \cdot cos (3 π - α)}$ 的值；
（2）已知 $0 < x < π$ ， $sin x + cos x = \frac{1}{5}$ ，求 $tan x$ 的值．

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19、已知集合 $A = {x ∣ x > 3 a + 1}$ ，集合 $B = \{x ∣ x^{2} - 5 x + 6 > 0\}$

(1)、当 $a = - 3$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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20、筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的切始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面距离为 $H = f (t) = A \sin (ω t + φ) + b$ $(A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}, t \geq 0)$ ，则 $H = f (t) =$

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平均气温 $(^{\circ} C)$	27	29	31	33
月销售量（台）	24	33	40	55