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相关试卷

1、下列各组函数中是同一函数的是（）

A、 $f (x) = x + 2$ ， $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}} + 2$ B、 $f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2} + 3$ C、 $f (x) = x^{2} + 2 {(x - 1)}^{0}$ ， $g (x) = x^{2} + 2$ D、 $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$ ， $g (t) = \sqrt{t} + \frac{1}{t}$

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2、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 a x + 3, x \leq 1 \\ a x + 1, x > 1 \end{array}$ 是减函数，则a的取值范围是（）

A、 $[- 3, - 1]$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 $[- 1, 0)$ D、 $[- 3, 0)$

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3、汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 $s$ 看作时间 $t$ 的函数，其图象可能是

A、 B、 C、 D、

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4、幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象过点 $(4, 2)$ ，则 $f (2)$ 等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5、已知 $p : 0 < x < 2$ ， $q : - 1 < x < 3$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充要也不必要条件

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6、设集合 $A = \{3, 5, 6, 8\}$ ，集合 $B = \{4, 5, 7, 8\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{5, 8\}$ B、 $\{3, 6\}$ C、 $\{4, 7\}$ D、 $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

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7、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{a}{b} = \sin C + \cos C$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $b = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(3)、已知点 $D$ 在 $A B$ 边上， $B C = 2$ ， $B D = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ ， $\sin ∠ B D C = \cos A$ ，求 $A B$ 的长.

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8、如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，平面 $C D D_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B // C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A B = B_{1} C = 3$ ， $A A_{1} = 2 A D = 2 C D = 2$ .

(1)、证明： $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积；

(3)、求直线 $A B$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成角的正弦值.

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9、已知函数 $f (x) = 3 sin x cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} cos 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{7 π}{12}, 0]$ 上的值域.

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = P C$ ，四边形 $A B C D$ 是正方形， $E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $P B / /$ 平面 $A C E$ .

(2)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $A C E$ .

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11、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为120°，且 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 2$ .

(1)、求 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ 的值；

(2)、若 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + k \vec{b}) = - 2$ ，求 $k$ 的值.

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12、 $A$ 是直线 $P Q$ 外一点，点 $M$ 在直线 $P Q$ 上（点 $M$ 与 $P$ ， $Q$ 两点均不重合），我们称如下操作为“由 $A$ 点对 $P Q$ 施以视角运算”：若点 $M$ 在线段 $P Q$ 外，记 $(P, Q; M) = - \frac{|A P| \sin ∠ P A M}{|A Q| \sin ∠ M A Q}$ .已知点 $M$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $A B$ 的延长线上，且 $A B = 2 B M = 2$ ，由 $A_{1}$ 对 $A B$ 施以视角运算，则 $(A, B; M) =$ .

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13、某数学兴趣小组成员为了测量 $A$ ， $B$ 两地之间的距离，在同一水平面上选取 $C$ 地，测得 $A$ 在 $C$ 的东偏北75°方向上，且距离 $C$ 地3千米，测得 $B$ 在 $C$ 的北偏东75°方向上，且距离 $C$ 地2千米，则 $A$ ， $B$ 两地之间的距离是千米.

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14、如图所示，一个水平放置的四边形 $O A B C$ 的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则原四边形 $O A B C$ 的面积是.

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15、已知三棱锥 $P - A B C$ 的底面 $A B C$ 是直角三角形， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = A B = A C = 2$ ，则（）

A、三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为 $12 π$ B、三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为 $48 π$ C、三棱锥 $P - A B C$ 内切球的半径为 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 内切球的半径为 $\frac{3 - \sqrt{3}}{9}$

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16、已知函数 $f (x) = A \cos (2 x + φ)$ （ $A > 0$ ， $0 < φ < π$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $A = 2$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5 π}{12}, 0)$ 对称 D、不等式 $f (x) > 1$ 的解集是 $(k π - \frac{π}{12}, k π + \frac{π}{4})$ （ $k \in Z$ ）

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 3$ ， $b = 2$ ， $\cos B = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $A$ 的值可以是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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18、已知 $A$ ， $B$ 是函数 $f (x) = 2 \sin 2 ω x - 1$ （ $ω > 0$ ）图象与 $x$ 轴的两个相邻的交点，若 $|A B| = \frac{π}{12}$ ，则 $ω =$ （）

A、4 B、8 C、4或8 D、8或16

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19、正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星 $A B C D E$ 中， $A B = 6$ ， $O$ 是该正五角星的中心，则 $\vec{A O} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、 $- 18$ B、 $- 12$ C、12 D、18

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20、小明在手工课上用硬纸板做了一个圆锥形容器，若该圆锥形容器的轴截面是边长为 $2 \sqrt{3}$ 分米的等边三角形，忽略硬纸板的厚度，则该圆锥形容器的容积是（）

A、 $3 π$ 立方分米 B、 $6 π$ 立方分米 C、 $9 π$ 立方分米 D、 $12 π$ 立方分米

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