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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |\frac{x + 1}{x - 4} < 0\}$ ， $B = \{x |x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(- 4, 0)$

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2、自然常数，符号 $e$ ，为数学中的一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为2.71828.它是自然对数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”，以纪念苏格兰数学家约翰・纳皮尔（John Napier）引进对数.它就像圆周率 $π$ 和虚数单位 $i$ ，是数学中最重要的常数之一，它的其中一个定义是 $e = \lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$ .设数列 $\{e_{n}\}$ 的通项公式为 $e_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ， $n \in N *$ ，

(1)、写出数列 $\{e_{n}\}$ 的前三项 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ， $e_{3}$ ．

(2)、证明： $2 \leq e_{n} < 3$ ．

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3、在 $x O y$ 平面上，我们把与定点 $F_{1} (- a, 0), F_{2} (a, 0) (a > 0)$ 距离之积等于 $a^{2}$ 的动点的轨迹称为伯努利双纽线， $F_{1}, F_{2}$ 为该曲线的两个焦点．已知曲线 $C : {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 9 (x^{2} - y^{2})$ 是一条伯努利双纽线．

(1)、求曲线 $C$ 的焦点 $F_{1}, F_{2}$ 的坐标；

(2)、判断曲线 $C$ 上是否存在两个不同的点 $A$ 、 $B$ （异于坐标原点 $O$ ），使得以 $A B$ 为直径的圆过坐标原点 $O$ ．如果存在，求点 $A$ 、 $B$ 坐标；如果不存在，请说明理由．

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4、在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是等边三角形，侧面 $A_{1} A C C_{1}$ 是等腰梯形， $O$ 是 $A C$ 的中点， $B_{1} O$ 是两异面直线 $B_{1} B$ 和 $A C$ 的公垂线，且 $A B = 9 A_{1} B_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $B B_{1} = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、证明：侧面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} A C$ ；

(2)、若 $\vec{B O} = \vec{B_{1} E}$ ，且 $B_{1} B$ 与平面 $E A C$ 之间的距离为1，求二面角 $A - E C - B_{1}$ 的正切值．

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5、某网游经销商在甲地区5个位置对“电信”和“网通”两种类型的网络在相同条件下进行游戏掉线次数测试，得到数据如下：

A
B
C
D
E
电信
4
3
8
6
12
网通
5
7
9
4
3

(1)、如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，根据小概率值α＝0.15的独立性检验，能否说明游戏的网络状况与网络的类型有关？

(2)、若该游戏经销商要在上述接受测试电信的5个地区中任选3个作为游戏推广，求A，B两个地区同时被选到的概率；

(3)、在（2）的条件下，以X表示选中的掉线次数超过5次的位置的个数，求随机变量X的分布列及数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n＝a＋b＋c＋d.
α
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
x_α
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
α
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
x_α
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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6、在① $sin A sin B sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} ({sin}^{2} A + {sin}^{2} C - {sin}^{2} B)$ ；② $\frac{1}{tan A} + \frac{1}{tan B} = \frac{sin C}{\sqrt{3} sin A cos B}$ ；③设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $4 \sqrt{3} S + 3 (b^{2} - a^{2}) = 3 c^{2}$ .这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知，且 $b = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、若 $a + c = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{a}{c}$ 的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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7、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，且 $f (x)$ 为偶函数，若 $x \geq 0$ 时， $f^{'} (x) \geq f (x) tan x$ ，且 $f (\frac{π}{3}) = 2$ ，则不等式 $f (x) < \frac{1}{cos x}$ 的解集为.

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8、近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ ），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件 $A_{k} = {$ 第 $k$ 次取单恰好是从1号店取单 $} ， P (A_{k})$ 是事件 $A_{k}$ 发生的概率，显然 $P (A_{1}) = 1 ， P (A_{2}) = 0$ ，则 $P (A_{n}) =$

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9、已知复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，则 $|z - 3 + 4 i|$ 的取值范围是.

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10、下列说法正确的是（）

A、两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 $\frac{1}{2}$ B、已知随机变量 $X ~ B (n, p)$ ，若 $E (X) = 30, D (X) = 10$ ，则 $p = \frac{1}{3}$ C、已知 $A_{n}^{2} = C_{n}^{3}$ ，则 $n = 8$ D、从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 $\frac{45}{91}$

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11、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线l与椭圆 $Γ$ 相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接 $F_{1} C$ ， $F_{1} A$ ．若O为坐标原点， $F_{1} C ⊥ F_{1} A$ ， $S_{\begin{matrix} △ \end{matrix} C O F_{2}} = 2 S_{△ A F_{1} F_{2}}$ ，则椭圆 $Γ$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$

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12、已知无穷等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\lim_{n \to \infty} S_{n} = S$ ，下列条件中，使得 $2 S_{n} < S (n \in N, n \geq 1)$ 恒成立的是（）

A、 $a_{1} > 0, 0.6 < q < 0.7$ B、 $a_{1} < 0, - 0.7 < q < - 0.6$ C、 $a_{1} > 0, 0.7 < q < 0.8$ D、 $a_{1} < 0, - 0.8 < q < - 0.7$

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13、已知函数 $f (x) = 3^{x} - 2^{x}, x \in R$ ，则下列结论错误的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 B、存在 $a \in R$ ，使得函数 $y = \frac{f (x)}{a^{x}}$ 为奇函数 C、任意 $x \in R, f (x) > - 1$ D、函数 $g (x) = f (x) + x$ 有且仅有2个零点

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14、克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，她掷了 $k$ 次硬币，最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量 $X$ 表示每掷 $N$ 次硬币中正面向上的次数，现以使 $P (X = 10)$ 最大的 $N$ 值估计 $N$ 的取值并计算 $E (X)$ .(若有多个 $N$ 使 $P (X = 10)$ 最大，则取其中的最小 $N$ 值).下列说法正确的是（）

A、 $E (X) > 10$ B、 $E (X) < 10$ C、 $E (X) = 10$ D、 $E (X)$ 与10的大小无法确定

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15、已知函数 $f (x) = x (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5)$ ，求 $f^{'} (2) =$ （）

A、0 B、 $- 12$ C、 $- 120$ D、120

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16、已知 $x \in (0, π)$ ， $\sin (\frac{13 π}{3} - x) - \cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = 0$ ，则 $\tan (x + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- 3 - 2 \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $3 - 2 \sqrt{2}$ D、-3

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17、已知下列四个命题：
①命题“ $\forall x \in R, \sqrt{x^{2} + 1} \geq 1$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \in R, \sqrt{x_{0}^{2} + 1} < 1$ ”；
②若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $sin A + sin B > cos A + cos B$ ；
③若 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，则 $x = x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的极值点；
④命题 $p$ ：若 $a^{2} - b^{2} > 0$ ，则 $a^{3} - b^{3} > 0$ ；命题 $q$ ：若 $a \neq b$ ，则 $a^{2} + b^{2} > 2 a b$ ；可知“ $p$ 或 $q$ ”为真命题．
其中真命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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18、如果集合 $S = \{x | x = 3 n + 1, n \in Z\}$ ， $T = \{x | x = 3 k - 2, k \in Z\}$ ，则（）

A、 $S \subseteq T$ B、 $T \subseteq S$ C、 $S = T$ D、 $S \in T$

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19、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ .

(1)、讨论函数 $g (x) = f (x) - \frac{a}{2} {(x + 1)}^{2}$ 的单调性；

(2)、若不等式 $f (x) > 1 - m x + ln x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = n x + ln x (n \in N^{*})$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线 $l$ 经过点 $(a_{n}, 0)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{\frac{(n^{2} - 1) a_{n}}{2^{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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α	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10
x_α	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706
α	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
x_α	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	A	B	C	D	E
电信	4	3	8	6	12
网通	5	7	9	4	3